Grenzverhalten Untersuchen verständlich erklärt

Question

Aufgabe:

…

Untersucht das Grenzwertverhalten der unten stehenden Funktionen in Bereich des Unendlichen (+Unendlich, - Unendlich) und im Bereich der Definitionslücke, falls sie existiert (linksseitig und rechtsseitig)!

1) f(x)=X²- X

f(x)=X³ + X² + 5

f(x)=X⁴ + 2x² - 4
Problem/Ansatz:

…

Ich weiß es einfach nicht wie es geht. Ich bin ehrlich ich habe wirklich nachgefragt im Unterricht, aber ich habe es trotzdem nicht verstanden. Kann es mir bitte einer verständlich erklären, wie diese Aufgabe zu lösen ist?

Vielen Dank im voraus

Answer 1

Aloha :)

Versuche, die Funktionen zu faktorisieren, sodass ihr Verhalten klar wird:

$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(x^2-x\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\underbrace{x}_{\to\pm\infty}\cdot\underbrace{(x-1)}_{\to\pm\infty}\right)\to+\infty$$$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(x^3+x^2+5\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\underbrace{x^2}_{\to+\infty}\cdot\underbrace{(x+1)}_{\to\pm\infty}+5\right)\to\pm\infty$$$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(x^4+2x^2-4\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\underbrace{(x^2+1)^2}_{\to+\infty}-5\right)\to+\infty$$

Answer 2

Die höchste Potenz entscheidet:

1. x^2 -> lim = +oo für x gg.+- oo

2. x^3 -> lim = +oo für x gg.+oo bzw. lim = -oo für x gg. -oo

3. x^4 -> lim = +oo für x gg. +-oo

Es gibt keine Lücken.