Question

Zeigen Sie anhand des Mittelwertsatzes:

(i) Für \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x \geq 0 \) gilt \( \sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2} \).

(ii) Für \( x, y \in \mathbf{R} \) mit \( x<y \) gilt. \( e^{x}(y-x)<e^{y}-e^{x}<e^{y}(y-x) \).

Answer 1

(i)

Sei f(t) = √(t+1). Diese Funktion ist im Intervall [0;∞) stetig und differenzierbar. Daher gilt nach MWS:

[f(x)-f(0)] / [x-0] = f ' (ξ) mit ξ∈(0;x)

f(x) = √(x+1)

f(0) = 1

Also gilt:

(√(x+1) - 1) / x = f ' (ξ)


f ' (t) = 1/(2*√(t+1))

f ' (ξ) = 1/(2*√(ξ+1)) < 1/2

Damit folgt:

(√(x+1) - 1) / x < 1/2            /*x/+1

√(x+1) < 1 + x/2                                                 q.e.d.


(ii)

Sei f(t) = e^t. Diese Funktion ist in ℝ stetig und differenzierbar. Daher gilt nach MWS:

[f(y) - f(x)] / (y-x) = f ' (ξ)   mit ξ∈(x;y)

f(y) = e^y

f(x) = e^x

Also gilt:

(e^y  - e^x ) / (y-x) = f ' (ξ)


f ' (t) = e^t

f ' (x) = e^x

f ' (ξ) =e^ξ

f ' (y) = e^y

Da f ' (t) = e^t monoton steigend ist, gilt mit x<ξ<y auch: f ' (x) < f ' (ξ) < f ' (y)

Damit folgt:

e^x < (e^y  - e^x ) / (y-x) < e^y   bzw. mit y>x

e^x * (y-x)   < (e^y  - e^x ) < e^y * (y-x)                                                         q.e.d.