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Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass

\( e^{x} \geqslant 1+x \)
für alle \( x \geqslant 0 \) gilt.


Hallo zusammen, ich hänge mal wieder bei einer Aufgabe. Es wäre super, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.

Vielen Dank im Voraus :)

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Betrachte f(x)=e^x -1 -x und ein beliebiges x > 0.

(Für x=0 ist die Ungl. ja sicherlich OK)

MWS liefert

\( \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(u)   \)  mit einem u∈]0,x[.

Hier also

\( \frac{e^x-1-x-0}{x} = f'(u) =e^{u}-1 \)

Wegen u>0 ist eu > 1 also eu-1 > 0.

Und du hast \( \frac{e^x-1-x}{x} > 0 \).

Wegen x>0 also auch \( e^x-1-x > 0 \).

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