Bernoulli und Binomialverteilung -> Münzwurf; Würfel; Genau.. und ... tritt ein

Question

ich brauch mal wieder Hilfe, Wahrscheinlichkeitsrechnung werde ich wohl nie verstehen :(

Vorweg: Wir haben noch NICHT die FORMEL VON BERNOULLI, also bitte keine Lösungen mit der Formel ;) Ich kenne allerdings den Binominalkoeffizienten. Naja hier die Aufgaben:

a) 8-maliges würfeln

A: Genau der erste und letzte Wurf sind Sechser Ich dachte: (1/6)² x (5/6)⁶   stimmt aber wohl nicht, mein Taschenrechner gibt mir was mit 9,.............x10^-3

B: Genau zwei aufeinander folgende Würfe sind Sechser Ich dachte: dafür gibt es 7 verschiedene Möglichkeiten deshalb: 7x(1/6)²x(5/6)⁶ -> gleiches Problem wie bei A

C: Genau zwei Sechser fallen hier ist mein Problem: wenn ich acht mal würfle, dann muss ich mir ja erst überlegen, wie viele Kombinationen es gibt, dass genau zwei sechser fallen von 8 würfen und da bin ich mir jetzt nicht sicher 8 über 2 vielleicht? und das Ergebnis dann mal das Ergebnis aus A? Aber da führt irgendwie zu nichts :(

b) 5 maliger Münzwurf

A: Genau der erste u. der dritte Wurf sind Zahl, Problem: die Wahrscheinlichkeit ist dann ja immer 1/2 sowohl für kopf als auch für zahl ..

B: genau der erste u. dritte wurf sind kopf -> siehe A

C: GEnau zwei Würfe sind Zahl keine Idee :(

D: Genau drei Würfe sind Zahl siehe C

c) 50-maliges Drehen des Glücksrades mit Alpha=72°

A: Genau 10 gewinne werden erziehlt? Hab ich überhaupt keine Idee weil ich weiß ja nur, dass jetzt 18° die Gewinnmöglichkeit beinhalten

...

PS: Wie soll das nur mit dem Stochastikteil im Matheabi werden, ihr müsst wissen ich bin sonst in Mathe recht gut, aber Stochastik :(

Answer 1

ihr müsst wissen ich bin sonst in Mathe recht gut, aber Stochastik :(

Da geht es dir wie vielen anderen auch, falls dir das ein Trost ist ...

zu a)

A ) ist völlig korrekt.

Um es doch mal mit der Bernoulli-Formel auszudrücken:

Die Wahrscheinlichkeit, bei n = 8 Würfen genau k = 2 Sechsen ("Erfolg" ) zu erzielen (wobei es nicht darauf ankommt, welche beiden der acht Würfe Sechser sind) ist bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Wurf von p = 1 / 6 nach Bernoulli:

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}*{ \left( \frac { 1 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }*{ { \left( \frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 6 } }$$

Es gibt nämlich

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac { 8! }{ 2!(8-2)! } =28$$

Möglichkeiten der Anordnung von zwei Sechsern und 6 Nicht-Sechsern.

Wenn aber, wie in deiner Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit für genau eine dieser 28 Möglichkeiten gesucht ist, dann muss man den Binomialkoeffizienten in der Formel weglassen (bzw. durch 1 ersetzen). Übrig bleibt dann genau der von dir angegebene Ausdruck

$${ \left( \frac { 1 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }*{ { \left( \frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 6 } }\approx 0,0093=0,93 Prozent$$

 

B) Da das Problem zu A ja nun gelöst ist, kann man zu deiner Lösung von B nur sagen: Stimmt genau! :-)

 

C) Richtig! Wenn es nicht darauf ankommt, welche zwei Würfe Sechser sind, dann muss man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bestimmte Kombination eintritt, mit der Anzahl der Möglichkeiten für eine solche Kombination multiplizieren (Siehe dazu auch meine Erläuterungen unter A). Und das sind bei 2 aus 8 Würfen gerade:

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}=28$$

Möglichkeiten. Man muss das Ergebnis aus A also mit dem Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}\) multiplizieren und erhält als Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendwelche zwei der acht Würfe Sechser sind und die anderen sechs Würfe nicht:

P = 0,0093 * 28 ≈ 0,2605 = 26,05 %

 

zu b)

A) Genau der erste u. der dritte Wurf sind Zahl.

Problem: die Wahrscheinlichkeit ist dann ja immer 1/2 sowohl für kopf als auch für zahl ..

Und...? Wo ist das Problem?

Es soll wie unter Teil a) die Wahrscheinlichkeit für genau eine der möglichen Anordnungen von zwei mal "Zahl" und 3 mal "Kopf" berechnet werden. Nachdem wir Teil a geklärt haben, ist ja nun nichts leichter als das :-) :

P = ( 0,5 ) ² * 0,5 ³ = 0,03125 = 3,125 %

 

B) Genau dieselbe Wahrscheinlichkeit (ob nun Kopf oder Zahl ist egal, da beide gleich wahrscheinlich sind):

P = ( 0,5 ) ² * 0,5 ³ = 0,03125 = 3,125 %

 

C) Multiplizieren mit dem Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}=10\) :

P = 10 * 0,03125 = 0,3125 = 31,25 %

 

D) Multiplizieren mit dem Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}=10\) :

P = 10 * 0,03125 = 0,3125 = 31,25 %

 

Teil c) 50-maliges Drehen des Glücksrades mit Alpha=72°

Alpha = 72 ° is vermutlich der Winkel, der zum Gewinn führt. Also ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei einmaligem Drehen:

p = 72 ° / 360 ° = 1 / 5

Die Wahrscheinlichkeit, bei 50-maligem Drehen genau 10 Gewinne zu erzielen ist dann

$$\begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix}*{ \left( \frac { 1 }{ 5 }  \right)  }^{ 10 }*{ { \left( \frac { 4 }{ 5 }  \right)  }^{ 40 } }\approx 0,1398=13,98 Prozent$$