Münzwurf, Würfel zum Thema Bernoulli / Binomialverteílung

Question

ich brauch mal wieder Hilfe, Wahrscheinlichkeitsrechnung werde ich wohl nie verstehen :(

Vorweg: Wir haben noch NICHT die FORMEL VON BERNOULLI, also bitte keine Lösungen mit der Formel ;) Ich kenne allerdings den Binominalkoeffizienten. Naja hier die Aufgaben:

a) 8-maliges würfeln

A: Genau der erste und letzte Wurf sind Sechser Ich dachte: (1/6)2 x (5/6)6 stimmt aber wohl nicht, mein Taschenrechner gibt mir was mit 9,.............x10-3

B: Genau zwei aufeinander folgende Würfe sind Sechser Ich dachte: dafür gibt es 7 verschiedene Möglichkeiten deshalb: 7x(1/6)2x(5/6)6 -> gleiches Problem wie bei A

C: Genau zwei Sechser fallen hier ist mein Problem: wenn ich acht mal würfle, dann muss ich mir ja erst überlegen, wie viele Kombinationen es gibt, dass genau zwei sechser fallen von 8 würfen und da bin ich mir jetzt nicht sicher 8 über 2 vielleicht? und das Ergebnis dann mal das Ergebnis aus A? Aber da führt irgendwie zu nichts :(

b) 5 maliger Münzwurf

A: Genau der erste u. der dritte Wurf sind Zahl, Problem: die Wahrscheinlichkeit ist dann ja immer 1/2 sowohl für kopf als auch für zahl ..

B: genau der erste u. dritte wurf sind kopf -> siehe A

C: GEnau zwei Würfe sind Zahl keine Idee :(

D: Genau drei Würfe sind Zahl siehe C

c) 50-maliges Drehen des Glücksrades mit Alpha=72°

A: Genau 10 gewinne werden erziehlt? Hab ich überhaupt keine Idee weil ich weiß ja nur, dass jetzt 18° die Gewinnmöglichkeit beinhalten


...


PS: Wie soll das nur mit dem Stochastikteil im Matheabi werden, ihr müsst wissen ich bin sonst in Mathe recht gut, aber Stochastik :(

Answer 1

 

Stochastik ist hartes Brot, aber wie so vieles eine Frage der Übung :-)

 

a) 8-maliges würfeln
 

A: Genau der erste und letzte Wurf sind Sechser

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Wurf ein Sechser ist? Natürlich 1/6.

Wie groß ist die W., dass der 8. Wurf ein Sechser ist? 1/6

Wie groß ist die W., dass der 1. und der 8. Wurf Sechser sind? 1/6 * 1/6 = 1/36

Wie groß ist die W. dass der 2. Wurf kein Sechser ist? 5/6

Wie groß ist die W., dass der 3. Wurf kein Sechser ist? 5/6

usw.

Wie groß ist die W., dass weder 2. noch 3. noch ... 7. Wurf Sechser sind? (5/6)⁶

Alles zusammen ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

(1/6)² * (5/6)⁶ ≈ 0,0093027216 ≈ 0,93%

Deine Rechnung stimmt also, weil 0,0093 = 9,3 * 10^-3

 

B: Genau zwei aufeinander folgende Würfe sind Sechser.

xxxxxx66

xxxxx66x

xxxx66xx

xxx66xxx

xx66xxxx

x66xxxxx

66xxxxxx

Auch hier liegst Du wieder richtig: 7 * (1/6)² + (5/6)⁶ ≈ 0,065119051 (= 6,5119051 * 10^-2) ≈ 6,51%

 

C: Genau zwei Sechser fallen.

Und wieder hast Du recht: Es gibt (8 über 2) Möglichkeiten, 2 "Positionen" für die beiden Sechser aus den insgesamt 8 "Positionen" auszuwählen. (8 über 2) = 8!/(2!*6!) = 28

Und jede dieser Möglichkeiten hat die Wahrscheinlichkeit aus a), nämlich (1/6)² * (5/6)⁶

Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

28 * (1/6)² * (5/6)⁶ ≈ 0,2604762041 ≈ 26,05%

Klar?

Gratuliere, Bernoulli verstanden :-)

 

b) 5 maliger Münzwurf
 

A: Genau der erste u. der dritte Wurf sind Zahl.

Analog zu oben: W. für ersten und dritten Wurf = Zahl = (1/2)² = 1/4

Ebenfalls analog zu oben: W. für zweiten und dritten und fünften Wurf keine Zahl = (1/2)³ = 1/8

Es stellt also kein Problem dar, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis "Zahl" und das Gegenergebnis "Kopf" beide = 0 sind.

Gesuchte Wahrscheinlichkeit: 1/4 * 1/8 = 1/32 = 0,03125 = 3,125%

Eigentlich logisch: Es gibt nur 32 mögliche Abfolgen mit Kopf und Zahl, und jede davon ist gleich wahrscheinlich :-)

 

B: Genau der erste u. dritte Wurf sind Kopf -> siehe A

Du sagst es: "Siehe A." 3,125%

 

C: Genau zwei Würfe sind Zahl

Wir haben für jede mögliche Abfolge die Wahrscheinlichkeit 1/32.

Es gibt (5 über 3) = 5!/(3!*2!) = 10 mögliche Verteilungen für zweimal Zahl innerhalb von 5 Würfen.

Also müssen wir, da diese Ereignisse unabhängig voneinander sind, rechnen

10 * 1/32 = 10/32 = 0,3125 = 31,25%

 

D: Genau drei Würfe sind Zahl

Ist natürlich die gleiche Wahrscheinlichkeit wie für genau 2 Würfe sind Kopf. Und diese wiederum ist die Gleiche wie in C, also auch 31,25%

 

c) 50-maliges Drehen des Glücksrades mit Alpha=72°

Dazu habe ich leider keine rechte Vorstellung und deshalb auch keine Idee.

 

Besten Gruß