Hallo, ich brauch Hilfe für die folgende Aufgabe:
Das i-te Legendre-Polynom \( p_{i} \) ist definiert durch: \( p_{0} = 1 \) und
i) deg \( p_{i} = i\) und \(p_{j}(1) = 1 \)
ii) \(p_{i} \perp p_{j}\) für \( j < i \) und Skalarprodukt \(<p , q> \) = \( \int\limits_{-1}^{1} p \cdot q \) dx .
1) Leiten Sie daraus \(p_{1} und p_{2} \) her.
2) Leiten SIe aus 1) die Gauss-Quadraturformel für s = 2 her. Welche Ordnung hat diese?.
In der Vorlesung hatten wir folgende Rekursionsformel: \( p_{n+1} = \frac{2n+1}{n+1} \cdot x \cdot p_{n}(x) - \frac{n}{n+1} \cdot p_{n-1} \). Wie kann man 1) und 2) lösen?
Vielen Dank!
