Wegintegral und Vektorfeld

Question

Aufgabe:

1)γ(t) = (t,t,t)

2) Vektorfeld: v(x,y,z)= (2xz²+y²) (2xy) (2y^2z)

3) Wegintegral: γ∫  v*ds =

0∫1 v(γ(t))* (dγ(t):dt)*dt.

Muss man jetzt nur v(x,y,z) * γ(t,t,t) *(dγ(t):dt)*dt rechnen

also ((2xz²+y²)*e1(*t))(2xy*e2*(t))((2y^2z)*e3*(t))*(dγ(t):dt)*dt

und wie leitet man (dγ(t):dt)*dt ab?

Comments

Was ist der Definitionsbereich für \(t\) ?

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Steht nich dabei, nur das γ:(0,1) -> R³

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Also steht es doch dabei: \(t\in[0;1]\) ;)

Und ist die z-Koordinate vom Vektorfeld wirklich \(2y^{2z}\) ?

Ich vermute, es soll \(2y^2z\) heißen.

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Ah ok hab ich leider übersehen sry mein Fehler :P

Ja soll (2y²)*z

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Ok, damit konnte ich eine Antwort schreiben ;)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$E=\int\limits_{\gamma}\vec v\,d\vec s=\int\limits_{0}^1\vec v(t)\,\frac{d\vec s}{dt}\,dt$$Ein Vektor wird abgeleitet, indem jede Koordinate einzeln abgeleitet wird:$$\vec s=\begin{pmatrix}t\\t\\t\end{pmatrix}\quad\implies\quad\frac{d\vec s}{dt}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$In das Vektorfeld \(\vec v\) musst du den Weg \(\gamma=(t;t;t)^T\) einsetzen:$$\vec v(t)=\begin{pmatrix}2xz^2+y^2\\2xy\\2y^2z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2tt^2+t^2\\2tt\\2t^2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t^3+t^2\\2t^2\\2t^3\end{pmatrix}$$Damit ist das Integral fertig gebaut:$$E=\int\limits_{0}^1\begin{pmatrix}2t^3+t^2\\2t^2\\2t^3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}dt=\int\limits_{0}^1\left(4t^3+3t^2\right)dt=\left[t^4+t^3\right]_0^1=2$$

Comments

Vielen Dank :) ging extrem schnell

und das (t,t,t)^T ist die Transposition des Vektors?

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Ja genau, dann kann ich das schneller hinschreiben. Mir ging es nur darum zu zeigen, dass \(x=t\), \(y=t\) und \(z=t\) eingesetzt werden muss.

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Nochmal zu dieser Frage: handelt es sich bei dem hier um ein Wegintegrall über einen geschlossenen Weg? Falls ja, müsste das Ergebnis 0 sein?

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Der Startpunkt des Weges ist \((0|0|0)\). Der Endpunkt des Weges ist \((1|1|1)\). Da Start- und Endpunkt verschieden sind, handelt es sich hier nicht um einen geschlossenen Weg.

Das Integral über einen geschlossenen Weg muss nicht \(0\) sein. Das ist nur sicher der Fall, wenn das Feld konservativ ist, d.h. wenn die Rotation des Vektorfeldes null ist.