Sei f: R -> R stetig und auf R+ streng monoton steigend. Zeige, dass für alle y in R+ gilt, dass f(0) < f(y)

Question

Aufgabe:

Sei f: R -> R stetig und auf R+ streng monoton steigend. Zeige, dass für alle y in R+ gilt, dass f(0) < f(y).

Problem/Ansatz:

Wenn f stetig ist, so ist f in jedem x0 in R stetig, so also auch für x0 = 0. Aus der Definition der Stetigkeit folgt, dass lim x->0 f(x) = f(0). Somit existiert für alle ε in R+ ein δ in R+, so dass für alle x in R mit 0 < |x-0| < d => |f(x) - f(0)| <= ε. Wir interessieren uns in diesem Beispiel nur für den rechtsseitgen Grenzwert, dementsprechend ist für alle x in R (hier genauer R+) |x| = x, somit gilt also, dass:

Für alle ε in R+ existiert ein δ in R+, so dass für alle x in R+ mit x < δ gilt, dass |f(x) - f(0)| <= ε.

Da f auf R+ streng monoton steigend ist, gilt weiterhin für alle y1, y2 in R+ mit y1 < y2 => f(y1) < f(y2).

Zwar kann ich natürlich sprachlich erklären, warum nun gilt, dass f(0) < f(y) ( - für jedes x=y kleiner δ nähert sich der Wert von f(y) dem Wert von f(0) immer weiter an, da y jedoch stets größer 0 ist, gilt dass f(y1) < f(y2)) Leider weiß ich jedoch nicht, wie ich dies mathematisch exaxt beweise. Vielen Dank für die Unterstützung!

Answer 1

\(y\in R+\Rightarrow \frac{y}{2}\in R+\).

Für natürliches \(n\geq 2\) gilt dann ebenfalls \(\frac{y}{2n}\in R+\), und wegen \(\frac{y}{2}\gt \frac{y}{2n}\)

gilt \(f(\frac{y}{2})\gt f(\frac{y}{2n})\). Wegen der Stetigkeit von \(f\) hat man

\(f(\frac{y}{2})\gt f(\frac{y}{2n})\rightarrow f(0)\) für \(n\rightarrow \infty\), also

\(f(y)\gt f(\frac{y}{2})\geq f(0)\).