Stochastik: V(X) Teil von [0,1/4]

Question 1

Hallo, ich habe die folgende Aufgabe, die ich nicht lösen kann: Es sei $$(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Für $$A \in \mathcal{A}$$ definieren wir die Zufallsvariable $$X:=\mathbb{1}_{A}$$.

Zeigen Sie, dass gilt $$\mathbb{V}(X) \in[0,1 / 4]$$.

Question 2

$$ \mathbb{E} (\chi_A) = 1 \cdot P(x \in A) + 0 \cdot P(x \notin A) = P(x \in A) $$

$$ \mathbb{E} \left( \chi^2_A \right) = 1^2 \cdot P(x \in A) + 0^2 \cdot P(x \notin A) = P(x \in A) $$ mit $ P( x \in A ) = P(A) $ folgt

$$ \mathbb{V} ( \chi_A ) = \mathbb{E} \left( \chi^2_A \right) - \mathbb{E}^2 (\chi_A) = P(A) - P^2(A) = P(A) ( 1 - P(A) ) $$

$ P(A) ( 1 - P(A) ) $ nimmt das Maximum bei $ P(A) = \frac{1}{2} $ an. Also gilt

$$ 0 \le \mathbb{V} ( \chi_A ) \le \frac{1}{4} $$

ullim · Answer 1 · 2021-10-16T12:31:18+0000

$$ \mathbb{E} (\chi_A) = 1 \cdot P(x \in A) + 0 \cdot P(x \notin A) = P(x \in A) $$

$$ \mathbb{E} \left( \chi^2_A \right) = 1^2 \cdot P(x \in A) + 0^2 \cdot P(x \notin A) = P(x \in A) $$ mit $ P( x \in A ) = P(A) $ folgt

$$ \mathbb{V} ( \chi_A ) = \mathbb{E} \left( \chi^2_A \right) - \mathbb{E}^2 (\chi_A) = P(A) - P^2(A) = P(A) ( 1 - P(A) ) $$

$ P(A) ( 1 - P(A) ) $ nimmt das Maximum bei $ P(A) = \frac{1}{2} $ an. Also gilt

$$ 0 \le \mathbb{V} ( \chi_A ) \le \frac{1}{4} $$

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