Beweis des Satzes: a*b > 0 <=> entweder a > 0 und b > 0 oder a < 0 und b < 0

Question

Aufgabe: Beweis des Satzes 1.2.5. (vi)

Problem/Ansatz: Hallo, unser Thema ist aktuell der reelle Körper mit seinen Axiomen. Soweit habe ich die Axiome( algebraische Axiome und Anordnungsaxiome verstanden, doch dazu haben wir einige Sätze. Einer dieser Sätze ist der folgende:

Text erkannt:

Satz 1.2.5. Für reelle Zahlen $a, b, c, d$ gilt:
(i) $a+c<b+c \Rightarrow a<b$.
(ii) $a<b \Leftrightarrow a-b<0$
(iii) $a<0 \Leftrightarrow-a>0$
(iv) $a<b \Leftrightarrow-a>-b$.
(v) $a<b$ und $c<d \Rightarrow a+c<b+d$
(vi) $a \cdot b>0 \Leftrightarrow$ entweder $a>0$ und $b>0$ oder $a<0$ und $b<0$
(vii) $a \cdot a>0 \forall a \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0 .$ Insbesondere gilt $1>0$.
Notation 1.2.6. Gilt für eine Zahl $a \in \mathbb{R}$, dass $a>0$ (bzw. $a<0)$, dann nennen wir a $\underline{\text { positiv }}$ (bzw. negativ). Ein $a \in \mathbb{R}$ mit $a \geq 0$ (bzw. $a \leq 0)$ nennen wir nichtnegativ $(\underline{b z w .}$ nichtpositiv).

Als Beispiel zeigen wir $(v i)$. Wenn wir eine ,genau dann, wenn"-Aussage beweisen möchten, werden wir oft erst eine und danach die andere Richtung zeigen. Dies üben wir jetzt.
Beweis. Schritt 1: (Rückrichtung) Zu zeigen ist: Wenn $a, b$ beide positiv oder beide negativ sind, dann ist das Produkt $a \cdot b$ positiv.
Fall 1: Wir zeigen: Wenn $a>0$ und $b>0$, dann gilt $a \cdot b>0$. Da $b>0$ ist, schlieken wir aus $0<a$ und $(\mathrm{O} 4)$, dass
$\begin{aligned} 0 \cdot b<a \cdot b \\ (\mathrm{M} 1), \operatorname{Satz}_{1.2 .2 \mid(i)} & 0<a \cdot b \end{aligned}$

Mein Problem ist das Folgende: Ich verstehe nicht, wie sich die Zeile: 0*b < a*b ergibt. Kann mir evtl. jemand bitte helfen?

Answer 1

Aus $0 < a$ und $b > 0$ folgt $a \cdot b > 0$. Und weil gilt $0 \cdot b = ( 0 + 0 ) \cdot b = 0 \cdot b + 0 \cdot b$ folgt $0 \cdot b = 0$ also insgesamt

$$a \cdot b > 0 \cdot b$$

Comments

Guten Abend,

Vielen Dank für Ihre Antwort, jedoch ist es für mich immer noch nicht genau verständlich, wie aus dem Monotoniegesetz der Multiplikation und dem Wissen, dass 0 < a ist, folgt, dass 0*b < a*b ist. Ich verstehe zwar Ihren Gedankengang, aber der Ansatz bzw. der Vorgang ist mir nicht ganz klar.

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Was genau ist nicht klar?

$0 < a$ und $b > 0$ folgt $a \cdot b > 0$ ist ein Axiom

Hier wird hergeleitet $0 \cdot b = ( 0 + 0 ) \cdot b = 0 \cdot b + 0 \cdot b$ das $0 \cdot b = 0$ gilt

Und weil $0 \cdot b = 0$ gilt folgt aus dem Axiom $a \cdot b > 0 \cdot b$

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@u : du gehst von einem anderen Axiomensystem aus

Es ist nämlich offenbar so, dass in diesem Kurs das Ordnungsaxiom O4 lautet :
x < y und z > 0   ⇒   x·z < y·z.

Dieses wird auf x = 0 , y = a , z = b angewandt, um die von dir als Axiom bezeichnete Implikation (vi_⇐1) als Satz zu beweisen.

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Genau @Gast hj2166. Jetzt habe ich es auch verstanden. Vielen Dank.

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Mein Axiomensystem stammt aus der Vorlesung von 1973 der Uni Bonn. Was O4 ist, ist oder war ist mir nicht bekannt.

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@ullim Trotzdem vielen Dank für die schnelle Hilfe.