Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik Kartenspiel

Question

Aufgabe:

Ein übliches Kartenspiel (2, 3, 4,. . . ,10, Bube, Dame, König, As)  wird gemischt. Wie groß ist die (klassische) Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl die oberste als auch die unterste Karte eine Dame ist?

(Hinweis: Alle Anordnungen sollen gleichwahrscheinlich sein.)

Problem/Ansatz:

klassische Wahrscheinlichkeit = \( \frac{ günstige Fälle }{ mögliche Fälle } \)

Mögliche Fälle = Variation ohne Wiederholung = \( \frac{ 52 ! }{((52-2)! } \) = 2652

Meine Frage ist wie ich jetzt auf die Summe der günstigen Fälle komme.

Durch den einfachen Ansatz weiß ich, dass das Ergebnis \( \frac{4}{52} \) * \( \frac{3}{51} \) = \( \frac{1}{221} \) sein muss.

Danke für die Hilfe !

Answer 1

Aloha :)

Es gibt \(52\) Karten, davon \(4\) Damen. Stelle dir vor, du legst unterste Karte auf die oberste. Dann ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass die beiden obersten Karten Damen sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die oberste Karte eine Dame ist, beträgt \(\frac{4}{52}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die Karte darunter eine Dame ist, beträgt \(\frac{3}{51}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher:$$p=\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{17}=\frac{1}{221}$$

Du könntest es auch so formulieren. Von den \(4\) Damen müssen \(2\) für besondere Positionen ausgesucht werden. Dafür gibt es \(\binom{4}{2}\) Möglichkeiten. Andererseits gibt es \(\binom{52}{2}\) Möglichkeiten, 2 Karten auszuwählen:

$$p=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}}=\frac{\frac{4}{2}\cdot\frac{3}{1}}{\frac{52}{2}\cdot\frac{51}{1}}=\frac{6}{26\cdot51}=\frac{1}{13\cdot17}=\frac{1}{221}$$

Comments

Das ist doch genau diejenige Methode, die m kannte und benutzt hat.

Er hat den Rechenweg p = (4 über 2) / (52 über 2) gesucht.

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Ja, genau das habe ich noch ergänzt. Als ich mir die Frage nochmal durchgelesen hatte, ist mir das auch aufgefallen.