Für welches n in N gilt n²<=2^n?

Question

Leute, die aufgabe lautet:

Wir sollen überprüfen für welches n in den natürlichen Zahlen die Ungleichung n²≤2^n gilt und sollen die Antwort begründen.

Kann man die Aussage per systematisches probieren beweisen? Also die Ungleichung geht erst ab n=4 auf. Soll ich danach mit einem Induktionsbeweis arbeiten? Wenn ja, wie mache ich das genau? Hatte bis jetzt nur Fälle wo eine gleichung stand und keine Ungleichung.

Freue mich sehr auf eure Antworten ^^

Comments

Rechne zunächst per Hand nach für welche n ∈ {1,2,3,4} die Ungleichung gilt. Anschließend Induktion: Wenn die Ungleichung für ein n ≥ 4 gilt, dann gilt auch 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ ≥ 2·n² - (n-3)·(n+1) - 2 = (n+1)².

Answer 1

Hier kannst du dir einen ersten Eindruck z.B. über Geogebra verschaffen (ja auch ausprobieren ist bei so einer Aufgabe zu Beginn nicht schlecht).

Also die Ungleichung geht erst ab n=4 auf.

Das ist nicht richtig. Es ist \(0^2 = 0 \leq 1 = 2^0\), sowie \(1^2=1\leq 2=2^1\) und \(2^2=4\leq 4 = 2^2\).

Was sich herausstellen wird: Die Ungleichung \(n^2\leq 2^n\) gilt für \(n\in \mathbb{N}\setminus \{3\}\).

In einem Beweis könntest du die Behauptung für \(n\in \{0,1,2\}\) offensichtlich schnell beweisen (vgl. oben, für \(n=3\) zeigst du dann, dass \(n^2>2^n\)).

Für \(n\geq 4\) kannst du mit Induktion argumentieren:

- im Induktionsanfang zeigst du die Behauptung für den "Startwert" \(n=4\), also dass \(4^2\leq 2^4\)

- in der Induktionshypothese darfst du annehmen, dass für ein bestimmtes \(n\in \mathbb{N}\) die Induktionsbehauptung, also \(n^2\leq 2^n\) gilt

- im Induktionsschritt zeigst du, dass für den Nachfolger \(n+1\) ebenfalls die Induktionsbehauptung gilt, also dass \((n+1)^2\leq 2^{n+1}\), ggf. musst du hier eine weitere kleine Induktion machen

Answer 2

Hier siehst Du die Lösung:

Comments

Hier siehst Du die Lösung

nzw das, was du eben so für eine Lösung hältst

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Es ist schön, dass Du schon versuchst, Dich im Internet einzubringen.