Zeigen Sie mit vollständiger Induktion n ∈ N, n ≥ 4, gilt 2^n ≥ n^2

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion (Induktionsanfang, -schritt, -voraussetzung, -behauptung und -schluss):

Für alle n ∈ N, n ≥ 4, gilt 2ⁿ ≥ n². Was ist für n = 0, 1, 2, 3?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man das mit der vollst. Induktion zeigen soll. Wir hatten die Induktion bisher nur mit Summe und Produkt.

Comments

https://www.mathelounge.de/392848/vollstandige-induktion-ungleichung-2-n-n-2-fur-alle-n-5

https://www.google.de/search?q=induktion+2%5En+%3E+n2&source=hp&ei=uIDPZL_mCNGlkwWZlqdY&iflsig=AD69kcEAAAAAZM-OyJs_IX1Yvbbr1dwN5sHIizlHLjQU&ved=0ahUKEwi_oufu88eAAxXR0qQKHRnLCQsQ4dUDCAo&oq=induktion+2%5En+%3E+n2&gs_lp=Egdnd3Mtd2l6IhJpbmR1a3Rpb24gMl5uID4gbjIyCBAAGIkFGKIEMggQABiJBRiiBEjrvAFQ9QlYo6kBcAt4AJABAJgBqQGgAYMUqgEFMTMuMTC4AQzIAQD4AQGoAgrCAhAQABgDGI8BGOoCGIwDGOUCwgIQEC4YAxiPARjqAhiMAxjlAsICCxAAGIAEGLEDGIMBwgIREC4YgAQYsQMYgwEYxwEY0QPCAggQABiABBixA8ICBRAAGIAEwgILEC4YgAQYxwEY0QPCAgsQLhiABBixAxiDAcICDhAuGMcBGLEDGNEDGIAEwgILEC4YigUYsQMYgwHCAgsQLhiABBjHARivAcICCxAuGIMBGLEDGIAEwgIOEAAYgAQYsQMYgwEYyQPCAgsQABiKBRiSAxi4BMICCBAAGIAEGJIDwgILEAAYigUYsQMYgwHCAggQLhiABBixA8ICERAuGIAEGLEDGIMBGMcBGK8BwgIIEAAYgAQYyQPCAgYQABgWGB4&sclient=gws-wiz#fpstate=ive&vld=cid:efa891d4,vid:lF04PImJrkE

Answer 1

Was ist für n = 0, 1, 2, 3?

n	2n	n2
0	1	1
1	2	1
2	4	4
3	8	9

Ich weiß nicht, wie man das mit der vollst. Induktion zeigen soll. Wir hatten die Induktion bisher nur mit Summe und Produkt.
Du musst für n ∈ ℕ, n ≥ 4
aus 2ⁿ ≥ n² folgern 2ⁿ⁺¹≥(n+1)² oder auch folgern 2·2ⁿ≥n²+2n+1 .

Comments

0²=0                                     .

Answer 2

Aloha :)

Behauptung:\(\quad \pink{2^n\ge n^2}\quad\text{für }n\ge4\)

Für \(n=3\) ist die Behauptung nicht erfüllt, denn \((8=\pink{2^3<3^2}=9)\).

Wir verankern daher die Induktion bei \(n=4\):$$2^4=16\;\land\;4^2=16\implies 2^4=4^2\implies \pink{2^4\ge4^2}\quad\checkmark$$

Vor dem Induktionsschritt überlegen wir uns Folgendes:$$n\ge4\implies\underbrace{n}_{\ge4}\cdot\underbrace{(n-2)}_{\ge2}\ge4\cdot2>1\implies n^2-2n>1\implies\color{blue}n^2>2n+1$$

Der Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) sieht damit so aus:$$2^{n+1}=2\cdot \pink{2^n\ge}2\cdot\pink{n^2}=n^2+{\color{blue}{n^2}}>n^2+{\color{blue}2n+1}=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Answer 3

Was ist für n = 0, 1, 2, 3?

Für die braucht es nicht zu gelten.

Induktionsanfang: n = 4

2^n ≥ n^2
2^4 ≥ 4^2
16 ≥ 16

wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

2^(n + 1) ≥ (n + 1)^2
2·2^n ≥ n^2 + 2·n + 1
2·n^2 ≥ n^2 + 2·n + 1
n^2 - 2·n - 1 ≥ 0
n ≥ √2 + 1
n ≥ 2.412

Das ist mit n ≥ 4 erfüllt.