Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 2^n > n² + n - 1 mit n≥5 gilt

Question

Aufgabe zur vollständigen Induktion:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion dass,

a. 2ⁿ > n² + n - 1 für alle n∈ ℕ mit n≥ 5 gilt.

b. 1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)² für alle n∈ ℕ gilt.

Answer 1

a) Induktionsanfang: n=5:

2⁵ = 32 ≥ 29 = 5²+5-1

Induktionsschritt: Sei 2ⁿ>n²+n+1. Zu zeigen ist:

2ⁿ⁺¹>(n+1)²+(n+1)+1 = n²+3n+3

Dann gilt:

2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ>2*(n²+n+1) = 2n²+2n+1 = n² + n²+2n+1 > n²+2n+2n+1

Denn n²>2n für n>2.

... > n²+2n+2n+1 = n²+3n+n+1 > n²+3n+2+1 = n²+3n+3

Also gilt: 2ⁿ⁺¹ > n²+3n+3, was zu zeigen war.

b) Ich denke hier macht es Sinn, über die geschlossene Formel der linken Seite zu gehen, die vermutlich bereits bekannt und bewiesen ist? Ich beweise sie trotzdem nochmal.
1³+2³+...+n³ = 1/4 n²(n+1)²

Induktionsanfang: 1³ = 1 = 1/4*1*2²

Induktionsschritt: Sei 1³+2³+...+n³ = 1/4 n²(n+1)². Zu zeigen ist dann

1³+2³+...+n³+(n+1)³ = 1/4 (n+1)²(n+2)²

Mit der Voraussetzung folgt:

1³+2³+...+n³+(n+1)³ = 1/4 n²(n+1)² + (n+1)³ = 1/4*(n+1)²*(n²+4n+4) = 1/4 (n+1)²(n+2)², was zu zeigen war.

 

Die rechte Seite ist:

(1+2+...+n)² = (1+2+...+n)*(1+2+...n)

Wir müssen also zeigen, dass 1+2+...+n = 1/2 n*(n+1) gilt.

Induktionsanfang: 1 = 1/2*1*2, ist wahr.

Induktionsschritt: Sei 1+2+...+n = 1/2 n*(n+1). Zu zeigen ist dann:

1+2+...+n+(n+1) = 1/2 (n+1)*(n+2)

Mit der Voraussetzung folgt:

1+2+...+n+(n+1) = 1/2 n*(n+1) + (n+1) = 1/2*(n*(n+1)+2(n+1)) = 1/2*(n+1)*(n+2), was zu zeigen war.

Also sind linke und rechte Seite für jedes n identisch.

Comments

Induktionsschritt: Sei 2ⁿ>n²+n+1. Zu zeigen ist:

2ⁿ⁺¹>(n+1)²+(n+1)+1 = n²+3n+3

Die Voraussetzung ist doch n²+n-1

Wäre dann nicht 2^{n+1} > (n+1)² + (n+1) - 1 = (n+1)² + n    zu zeigen?