Wie kommt man von der Ableitungsfunktion zur Ausgangsfunktion?

Question

Aufgabe: Ich hätte eine "blöde" Frage aber wie komme ich von der Ableitungsfunktion zur Ausgangsfunktion?

C′(x)=6x^2-10x+12

Was wäre von dieser Ableitungsfunktion die "normale" Stammfunktion bzw Ausgangsfunktion?

DANKE

Answer 1

Aloha :)

Beim Ableiten von \(x^n\) multiplizierst du mit dem Exponenten \(n\) und verminderst ihn danach um \(1\), formal \(x^n\mapsto n\cdot x^{n-1}\)

Das musst du nun andersum machen. Zuerst den Exponenten um \(1\) erhöhen und danach durch den neuen Exponenten dividieren, formal \(x^n\mapsto\frac{x^{n+1}}{n+1}\)

$$C'(x)=6x^2-10x+12\implies$$$$C(x)=6\cdot\frac{x^3}{3}-10\cdot\frac{x^2}{2}+12\cdot\frac{x^1}{1}=2x^3-5x^2+12x$$Das Ergebnis ist aber nicht eindeutig. Wenn du nämlich eine Konstante ableitest, kommt \(0\) heraus. Es kann also sein, dass die Funktion \(C(x)\) noch eine Konstante hat, die wir allein aus der Kenntnis der Ableitung \(C'(x)\) nicht ermitteln können. Die vollständige Lösung wäre daher:$$C(x)=2x^3-5x^2+12x+\text{const}$$

Comments

Danke dir !! :-)

Answer 2

Zur Integrationskonstanten C

Du hast eine Funktion f ( x ) = ...
Dazu gibt es eine Ableitungsfunktion
f ´ ( x ) = ...

Wird nun die Funktion f (x ) in Richtung
y-Achse verschoben bleibt die Ableitungsfunktion
( Steigungsfunktion ) gleich.

Es gibt also unendlich viele Funktionen die dieselbe
Ableitungsfunktion haben und die sich nur im y-Achsenabschnitt unterscheiden.

f ( x ) = ... + C

Beispiel
y = x^2
y = x^2 + 1
y = x^2 - 7

haben alles dieselbe Ableitungsfunktion.