Die Aussage
Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\) gilt \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\).
beweist man überhaupt nicht. Grund dafür ist, dass sie falsch ist.
Die Aussage
Es gibt \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\), so dass \(\frac{1}{a}\not>\frac{1}{b}\) ist.
ist eine Existenzaussage. Sie kann deshalb bewiesen werden, indem konkrete Werte für \(a\) und \(b\) angegeben werden, die
\(a<0<b \text{ und } \frac{1}{a}\not>\frac{1}{b}\)
erfüllen.
Die Existenzaussage ist die Negation der Allaussage. Weil es nicht möglich ist, dass sowohl eine Aussage als auch ihre Negation gültig sind, ist durch den Beweis der Existenzaussage die Allaussage widerlegt.
Kann ich a gegen -∞ und b gegen ∞ laufen lassen (limes) und es somit beweisen?
Dann hast du eine Aussage über den Limes bewiesen. Keine deiner Aussagen aus deiner Frage sagt irgendetwas über den Limes aus.
Die Aussage
Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\) gilt \(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\).
ist gültig. Sie kann deshalb nicht wie oben widerlegt werden, sondern muss bewiesen werden.
Weil es sich um eine Allaussage handelt, kann sie nicht bewiesen werden indem für \(a\) und \(b\) irgendwelche Zahlen eingesetzt werden. Stattdessen werden \(a\) und \(b\) mit den geforderten Voraussetzungen postuliert:
Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a < 0 < b\).
Jetzt wird mittels Körperaxiomen und bewiesener Eigenschaften der reellen Zahl begründet, warum \(\frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{b}\) ist.
