Aussagen zu Folgen beweisen oder widerlegen (Infimum und Supremum)

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reelle Folgen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) hat endlich viele Häufungswerte \( \Rightarrow\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist beschränkt.

(b) \( \lim \sup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim \sup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\lim \sup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \).

Hierbei nehmen wir bei (b) an, dass alle auftretenden Größen ungleich \( \pm \infty \) seien.
Bemerkung: Die Definition von limsup \( \operatorname{sum}_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) finden Sie auf dem Plenarübungsblatt 4.

Answer 1

Zum ersten ein Tipp :ℚ, das zweite ist nicht schwer, verwende Folgen die ausschließlich 2 Werte unendlich oft annehmen