Ist die Abbildung wohldefiniert?

Question

Aufgabe:

Ist die Abbildung wohldefiniert? Wenn ja, ist diese subjektiv und/oder injektiv? R→R

                                                                                                                         x2 → x

Problem/Ansatz:

Soweit ich verstehe, ist diese Abbildung wohldefiniert, da es für jedes x ein eindeutiges Ergebnis gäbe. Jedoch weiß ich nicht, wie ich beweisen soll, dass es injektiv/surjektiv ist. Vor allem verstehe ich nicht, wie man x^2 auf x abbilden soll? Wäre das dann die Funktion f(x)^2=x oder wie? Wie soll dies gehen?

Answer 1

Du änderst die Funktion so, dass sie von x auf irgendwas abbildet.

Also ziehst du die Wurzel und hast dann: x bildet auf Wurzel von x ab.

Dann prüfst du, ob alle Elemente von R im Wertebereich mind. 1 Urbild aus dem Definitionsbereich hat, um zu gucken, ob sie surjektiv ist. (Spoiler: Nein, betrachte -1 als Wertebereich, -1 hat kein reelles Urbild). Bei der Injektion guckst du, ob jedes Element vom Wertebereich nur maximal einmal vom Definitionsbereich getroffen wird, auch hier ist es falsch, betrachte f(x)=25 x=5 und x=-5.Die Funktion ist meines Erachtens nach nicht wohl definiert, betrachte f(-1)=Wurzel von -1

Wurzel von -1 ist eine komplexe Zahl und gehört nicht zu den reellen. Damit die Funktion wohldefiniert wäre, müsstest du jedes Element aus dem Definitionsbereich einsetzten können, wobei dann etwas aus dem Wertebereich kommen sollte, aber komplexe Zahlen sind nicht im Wertebereich hier, von daher ist f nicht wohldefiniert.