Zeigen Sie, dass (M,+, ·) ein Körper ist.

Question

Aufgabe:

ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe (siehe Bild), in der man zeigen soll, dass M ein Körper ist.

Problem/Ansatz:

Weil M ein Matrizenring 2 x 2 ist, muss ich noch das neutrales Element, inverses Element und die Kommutativität nachweisen. Ist das richtig? Ich weiss leider gar nicht wie das zu zeigen ist.

Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen :)

Text erkannt:

(a) Sei \( M:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} . \) Zeigen Sie, dass \( (M,+, \cdot) \) ein Körper ist.

Comments

Weil M ein Matrizenring 2 x 2 ist

das stimmt und ich hoffe, dass du weißt, was du hier geschrieben hast.

Answer 1

Weil M ein Matrizenring 2 x 2 ist, ...

... ist schon mal die Matrix \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) neutral bezüglich der Multiplikation. Ist diese Matrix ein Element von \(M\)?

inverses Element und die Kommutativität nachweisen. Ist das richtig?

Das ist richtig so. Falls also obige Prüfung erfolgreich war, löst man die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

um die inverse Matrix von \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\) zu bestimmen.

Als letztes rechnet man

        \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}\)

und

        \(\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\)

aus und merkt dass man beides mal das gleiche Ergebnis bekommt.