Verständnisproblem bei der Aufgabe: „Zeigen Sie, dass (ℚ( √{d} ), +, · ) ein Körper ist.“

Question

Hallo, ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich leider nicht weiß, was genau gefordert ist.

Aufgabenstellung:

Sei d∈ℤ\{0,1} quadratfrei. Wir versehen die Menge
ℚ($\sqrt{d}$) := { a+b$\sqrt{d}$ : a,b∈ℚ } ⊆ ℂ
mit der Addition und Multiplikation von ℂ. Zeigen Sie, dass (ℚ($\sqrt{d}$), +, · ) ein Körper ist.
(Hinweis: Zeigen Sie zur Bestimmung der inversen Elemente zunächst, dass x · κ(x) ∈ℚ für alle x∈ℚ($\sqrt{d}$) gilt, wobei κ(a+b$\sqrt{d}$) := a-b$\sqrt{d}$ die algebraische Konjugation ist.

Von welcher Voraussetzung muss man hier ausgehen? Darf man nur voraussetzen, dass ℚ ein Körper ist und dann soll folgen, dass ℚ($\sqrt{d}$) sozusagen eine Erweiterung um irrationale Zahlen ist, die sich als $\sqrt{d}$ darstellen lassen bzw. um komplexe Zahlen aus ℚ($\sqrt{d}$)?

Comments

Vielen Dank an mathef und oswald für die Antworten.

Answer 1

mit der Addition und Multiplikation von ℂ.

Das heißt ja schon mal, dass Assoziativität, Distributivität etc.

erfüllt sind.

Du musst also nur nachweisen:

Abgeschlossenheit . Existenz von 0 und 1 in ℚ(√d) und

Existenz der Inversen .

Abg. bzgl +: Seien x:=a+b$\sqrt{d}$ und y:=c+e$\sqrt{d}$ in ℚ(√d)

Dann ist x+y = (a+b$\sqrt{d}$)+(c+e$\sqrt{d}$ )

wegen der Rechengesetze in ℂ

       =(a+c)+(b+e)√d und weil ℚ ein Körper ist sind

a+c und b+e aus ℚ, also x+y in ℚ(√d).

entsprechend für *, da hast du

x*y=... = (ac+bde) + (bc+be)√d also auch in ) in ℚ(√d).

1 und 0 sind ja kein Problem wegen 0=0+0√d und 1=0+0√d  .

additives Inverses zu x=a+b$\sqrt{d}$ ist -x=-a-b$\sqrt{d}$

und für multiplikativ berechne u und v mit

            (a+b$\sqrt{d}$)(u+v$\sqrt{d}$)=1

Answer 2

Von welcher Voraussetzung muss man hier ausgehen?

Du darfst von den Voraussetzung ausgehen, die in der Aufgabenstellung genannt sind, also

• dass $d\in \mathbb{Q}\setminus\{0,1\}$ quadratfrei ist,
• dass $\mathbb{Q}(\sqrt d) = \{a+b\sqrt d\ |\ a,b\in \mathbb{Q}\}\subseteq \mathrm{C}$ ist und
• dass Addition und Multiplikation auf $\mathbb{Q}(\sqrt d)$ definiert sind indem die entsprechenden Verknüpfungen von $\mathbb{C}$ auf die Definitionsmenge $\mathbb{Q}(\sqrt d)\times \mathbb{Q}(\sqrt d)$ eingeschränkt wurden.
  

Du darfst natürlich auch alle in der Lehrveranstaltung bewiesenen Sätze verwenden und auf die dort eingeführten Definitionen zurückgreifen.