Verständnisproblem bei der Aufgabe: „Zeigen Sie, dass (ℚ( √{d} ), +, · ) ein Körper ist.“

Question

Hallo, ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich leider nicht weiß, was genau gefordert ist.

Aufgabenstellung:

Sei d∈ℤ\{0,1} quadratfrei. Wir versehen die Menge
ℚ(\( \sqrt{d} \)) := { a+b\( \sqrt{d} \) : a,b∈ℚ } ⊆ ℂ
mit der Addition und Multiplikation von ℂ. Zeigen Sie, dass (ℚ(\( \sqrt{d} \)), +, · ) ein Körper ist.
(Hinweis: Zeigen Sie zur Bestimmung der inversen Elemente zunächst, dass x · κ(x) ∈ℚ für alle x∈ℚ(\( \sqrt{d} \)) gilt, wobei κ(a+b\( \sqrt{d} \)) := a-b\( \sqrt{d} \) die algebraische Konjugation ist.

Von welcher Voraussetzung muss man hier ausgehen? Darf man nur voraussetzen, dass ℚ ein Körper ist und dann soll folgen, dass ℚ(\( \sqrt{d} \)) sozusagen eine Erweiterung um irrationale Zahlen ist, die sich als \( \sqrt{d} \) darstellen lassen bzw. um komplexe Zahlen aus ℚ(\( \sqrt{d} \))?

Comments

Vielen Dank an mathef und oswald für die Antworten.

Answer 1

mit der Addition und Multiplikation von ℂ.

Das heißt ja schon mal, dass Assoziativität, Distributivität etc.

erfüllt sind.

Du musst also nur nachweisen:

Abgeschlossenheit . Existenz von 0 und 1 in ℚ(√d) und

Existenz der Inversen .

Abg. bzgl +: Seien x:=a+b\( \sqrt{d} \) und y:=c+e\( \sqrt{d} \) in ℚ(√d)

Dann ist x+y = (a+b\( \sqrt{d} \))+(c+e\( \sqrt{d} \) )

wegen der Rechengesetze in ℂ

       =(a+c)+(b+e)√d und weil ℚ ein Körper ist sind

a+c und b+e aus ℚ, also x+y in ℚ(√d).

entsprechend für *, da hast du

x*y=... = (ac+bde) + (bc+be)√d also auch in ) in ℚ(√d).

1 und 0 sind ja kein Problem wegen 0=0+0√d und 1=0+0√d  .

additives Inverses zu x=a+b\( \sqrt{d} \) ist -x=-a-b\( \sqrt{d} \)

und für multiplikativ berechne u und v mit

            (a+b\( \sqrt{d} \))(u+v\( \sqrt{d} \))=1

Answer 2

Von welcher Voraussetzung muss man hier ausgehen?

Du darfst von den Voraussetzung ausgehen, die in der Aufgabenstellung genannt sind, also

• dass \(d\in \mathbb{Q}\setminus\{0,1\}\) quadratfrei ist,
• dass \(\mathbb{Q}(\sqrt d) = \{a+b\sqrt d\ |\ a,b\in \mathbb{Q}\}\subseteq \mathrm{C}\) ist und
• dass Addition und Multiplikation auf \(\mathbb{Q}(\sqrt d)\) definiert sind indem die entsprechenden Verknüpfungen von \(\mathbb{C}\) auf die Definitionsmenge \(\mathbb{Q}(\sqrt d)\times \mathbb{Q}(\sqrt d)\) eingeschränkt wurden.
  

Du darfst natürlich auch alle in der Lehrveranstaltung bewiesenen Sätze verwenden und auf die dort eingeführten Definitionen zurückgreifen.