Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv/surjektiv/bijektiv Analysis 1

Question

Aufgabe: HILFE !!

Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv/surjektiv/bijektiv?
a) \( f: \mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}, x \mapsto x^{4} \)
b) \( g: \mathbf{Q} \times \mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q} \times \mathbf{Q},(x, y) \mapsto(x+y, x+2 y) \)
c) \( h: \mathbf{Q} \times \mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q},(x, y) \mapsto x-y \)

Answer 1

Aloha :)

$$\text{a)}\quad f\colon\mathbb Q\to\mathbb Q\;,\;x\mapsto x^4$$Es gilt \(f(-1)=1\) und \(f(1)=1\). Die \(1\) aus der Zielmenge \(\mathbb Q\) wird also mehr als 1-mal getroffen. Daher ist die Funktion nicht injektiv.

Wegen \(f(x)=x^4\ge0\) kann z.B. der Wert \(-1\) aus der Zielmenge \(\mathbb Q\) von keinem \(x\in\mathbb Q\) aus der Definitionsmenge getroffen werden. Die Funktion ist daher nicht surjektiv.

$$\text{b)}\quad f\colon\mathbb Q^2\to\mathbb Q^2\;,\;(x|y)\mapsto(x+y|x+2y)$$Wir schreiben die Abbildung in Matrixschreibweise:$$\binom{x}{y}\mapsto\binom{x+y}{x+2y}=x\binom{1}{1}+y\binom{1}{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$Da die Matrix \(2\) linear unabhängige Spaltenvektoren hat, ist ihr Rang gleich \(2\).

Die Anzahl der Spalten ist gleich dem Rang \(\implies\) Die Abbildung ist injektiv.

Die Anzahl der Zeilen ist gleich dem Rang \(\implies\) Die Abbildung ist surjektiv.

$$\text{c)}\quad f\colon\mathbb Q^2\to\mathbb Q\;,\;(x|y)\mapsto x-y$$

Das Element \(0\) aus der Zielmenge \(Q\) wird unendlich oft getroffen, weil jedes Tupel der Form \((x|x)\) auf \(0\) abbildet. Daher ist die Funktion nicht injektiv.

Andererseits können wir uns ein beliebiges Element \(x\in\mathbb Q\) aus der Zielmenge herausgreifen und sofort das Element \((x|0)\in\mathbb Q^2\) angeben, das dieses Element \(x\) trifft. So wird jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen und damit ist die Funktion surjektiv.

Answer 2

a)  nicht injektiv, da z.B. f(1)=f(-1)

nicht surjektiv, da z.B. f(x) = -1 keine Lösung in Q hat.

c)  nicht injektiv, da z.B. h(1,1)=h(2,2)

aber surjektiv, da jedes y∈ℚ z.B. durch h(y,0) = y erreicht wird.

b) g ist injektiv, denn wenn (a,b) und (c,d) Paare sind mit

 g(a,b) = g(c,d)  dann gilt ja

(a+b, a+2b) = (c+d, c+2d)

<=>  a+b = c+d  ∧  a+2b = c+2d

<=> a+b = c+d ∧  a+b+b = c+d+d

1. Gleichung bei 2. einsetzen

<=> a+b = c+d ∧  c+d+b = c+d+d | -(c+d)

<=> a+b = c+d ∧      b = d   

2. Gleichung bei 1. einsetzen

<=> a+d = c+d     | -d   ∧      b = d  

<=> a = c ∧      b = d  

<=>   (a,b) = c,d)   also g injektiv.

Und ist auch surjektiv; denn wenn du ein (x,y) ∈ ℚ x ℚ hast ,

dann gibt es ein (a,b)  ∈ ℚ x ℚ . Denn aus dem

Ansatz f(a,b) = (x,y) kannst du

a=2x-y und b=y-x ausrechnen.