Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv, oder bijektiv?

Question

Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
(a) f : N → Z, x → x^3 + 3x^2 + 3x + 1.
(b) f : R → Q, x → −x falls x ∈ Q und x → −126 falls x ∈ R \ Q.
(c) f : M → {a}; dabei ist M ungleich ∅ beliebig. (Fallunterscheidung!)
(d) f : R → R ∪ {0}, x → |x|.

und zwar haben wir bis morgen diese Hausaufgabe auf. Aufgabe a ist mir gelungen zu lösen. Dort habe ich als Lösung: injektiv, nicht subjektiv und nicht bijektiv.

Bei Aufgabe b-d bräuchte ich eure Hilfe.

Answer 1

Hallo

a) nicht surjektiv? welche Punkte von R erreichst du nicht?

b) nicht objektiv, da alle nicht rationalen Zahlen denselben Wert haben. subjektiv, da du jeden Punkt von Q erreichst.

c) Fälle M hat nur 1 Element: objektiv, surjektiv, objektiv, M hat mehr als ein Element, nur surjektiv.

d) nicht objektiv, -3 und +3 z-B haben dasselbe Bild, nich surjektiv da negative Werte nicht erreicht werden.

Was daran findest du schwer, du solltest immer zuerst die Definitionen aufschreiben, dann ist es wirklich leicht.

Gruß lul

Answer 2

a) stimmt !

b) f : R → Q, x → −x falls x ∈ Q und x → −126 falls x ∈ R \ Q.

nicht Injektiv, weil z.B. √2 und √3 zwar verschieden sind, aber gleichen Funktionswert haben.

surjektiv aber schon , da jedes q∈ Q  der Funktionswert eines x ∈ℝ ist, nämlich für x=-q.

f : M → {a}; dabei ist M ungleich ∅ beliebig. (Fallunterscheidung!) 

Wenn M einelementig ist, ist f wohl bijektiv; denn dann gibt es ja nur x --->  a

Wenn M mehrere Elemente hat ist f nicht Injektiv.

f : R → R ∪ {0}, x → |x|.

heißt das bei der Zielmenge vielleicht   R⁺ ∪ {0}   ?

Dann wäre f surjektiv, ansonsten nicht, weil z.B. -1 als Funktionswert nicht vorkommt.

Injektiv sowieso nicht, da z.B.  f(1) = f(-1)

Comments

Super, vielen Dank. Ja bei der Zielmenge sollte es  R+ ∪ {0} heißen.

Kleine Zwischenfrage, warum hast du bei der d surjektiv stehen? Könntest du mir das vielleicht noch erklären? Weil eigentlich können doch die negativen Werte nie erreicht werden, und somit wäre sie doch dann nicht surjektiv oder?

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Bei   R+ ∪ {0}  sind ja die negativen Werte nicht drin.