l'Hospital - Problem mit dem Grenzwert

Question

Komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:

Text erkannt:

e) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{x^{2}} \)

Berechnet werden soll der Grenzwert mit l'Hospital. Das hab ich in meinem Rechenweg gekennzeichnet, alles andere sind nur Vereinfachungen.

Text erkannt:

e) \( \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{x^{2}} \)
('Hapital \( \frac{2\left(e^{x}-1\right) \cdot e^{x}}{2 x}=\frac{\left(2 e^{x}-2\right) \cdot e^{x}}{2 x} \)
\( =\frac{3 \cdot e^{x}-2 \cdot e^{x}}{2 x} \)
('Hositul \( \frac{3 \cdot e^{x}-2 e^{x}}{2}=\frac{1}{2} \)

Komme auf 1/2, die Lösung sagt aber 1. Wie kann das sein?

x^2  ist doch immer abgeleitet 2x und dann 2, was ja die Bedingung für l'Hospital nicht mehr erfüllen würde, also muss man da doch stoppen. Sehe da keinen anderen Weg...

Answer 1

Aloha :)

Du hast eigentlich alles richtig gemacht, nur einen Rechenfehler beim Ausmultiplizieren des Zählers.$$\frac{(e^x-1)^2}{x^2}\stackrel{(\text{H})}{\to}\frac{2(e^x-1)\,e^x}{2x}=\frac{(e^x-1)\,e^x}{x}=\frac{e^{2x}-e^x}{x}\stackrel{(\text{H})}{\to}\frac{e^{2x}\cdot2-e^x}{1}\stackrel{(x=0)}{\to}\frac{2-1}{1}=1$$