Aloha :)
Erinnerst du dich noch an den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\)? Er gibt uns die Anzahl der Möglichkeiten, von \(n\) Elementen genau \(k\) ohne Zurücklegen auszuwählen. Die Menge \(M\) mit \(n\) Elementen hat daher \(\binom{n}{0}\) leere Teilmengen, nämlich die leere Menge. Sie hat \(\binom{n}{1}\) einelementige Teilmengen, \(\binom{n}{2}\) zweielementige Teilmengen... Insgesamt beträgt die Anzahl der Teilmegnen also:$$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}$$
Zur Berechnung dieser Summe bemühen wir den binomischen Lehrsatz$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^k\cdot b^{n-k}$$indem wir dort speziell \(a=1\) und \(b=1\) wählen:$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^k\cdot1^{n-k}=(1+1)^n=2^n$$
Die richtige Antwort ist also (B).
