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Hallo alle zusammen


||y-x||= L , wobei M:= { (x,y)∈ℝ2 ×   2 | || y-x||= L}


Ich muss zeigen ,dass M eine Untermannigfaltigkeit des ℝ4 ist.

Mein Ansatz: Ich wollte erst das Differential von M bilden dazu wollte ich aber erst  ||y-x| umformen also \( \sqrt{(y-x)2-(y-x)2} \)

Und dann das Differential bilden bezüglich der Wurzel.


Bin ich denn soweit richtig?


Danke im Voraus

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Also wenn mein Ansatz richtig sein sollte dann bekomme ich für das Differtential \( \frac{2}{\sqrt{2}} \) raus


Oder wenn (x,y)∈ℝ× ℝ2 kann ich dann sagen, dasss ||y-x||= ||(y1,y2) - (x1-x2)||

Aber dann weiß ich leider nicht wie ich das Differential bilden soll

1 Antwort

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Betrachte f(x,y) =  || x-y||.
Dann ist M=f^-1({ℝ2 ×  ℝ2}).
Jacobimatrix von f ist:J(x,y) = 1/f(x,y) * (x1-y1, x2-y2, y1-x1, y2-x2).
Hier muss wahrscheinlich L ≠ 0 vorausgesetzt werden.
Differential surjektiv in (x,y) ⇔ J(x,y) vollen Rang ⇔ J(x,y) ≠ 0.
J(x,y) = 0 ⇔ x=y, aber die Punkte der Form (x,x) gehören nicht zu f^-1({L}).
Also ist Differential f auf M surjektiv. Satz vom regulären Wert liefert den Rest.

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Super ich danke dir!

Ich habe nur nicht verstanden warum, 1/f(x,y) ?

Das ist was übrig geblieben ist von der Wurzel Ableitung. 1/2 und 2 wurden gekürzt. (Kettenregel)

Ach stimmt hab jetzt nochmal nachgerechnet


Dankee

Beachte M=f^-1({ℝ2 ×  ℝ2}), habe es korrigiert.

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