Zeigen, dass eine Ellipse eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von R^2 ist

Question

Hallo Ich verzweifle grade an dieser Aufgabe sitze seit tagen dran :(  Ich weiß, dass die Aufgabe eigentlich sehr einfach ist, aber komme gar nicht drauf und bin auf eure Hilfe angewiesen...

Also die aufgabe lautet :

Zeigen, dass die Ellipse {(x,y) | (x/a)²+(y/b)² = 1} eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit con R² ist. Gebe 2 verschiedene Beweise an...

Ich kenn nichtmal einen Beweis :'(

Gruß Lily

Answer 1

Es wäre gut zu wissen, welche Charakterisierungen/Definition von Untermannigfaltigkeiten dir bekannt sind.

Du kannst die Ellipse z.B. als Nullstellenmenge einer geeigneten Immersion darstellen, eine Parametrisierung angeben oder sie lokal als Graph einer Funktion darstellen.

Comments

Also in der Vorlesung hatten wir diese definition

Eine nichtleere Menge M⊆R^m heißt m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R^m , wenn für alle x₀∈M eine offene Umgebung U(x₀)⊆R^mvon x₀, eine stetig diffabare Funktion g : V->R^m-n ,V⊆Rⁿ offen und eine permutatio der koordianten O(x₁,...,x_m)=(x_π(1) ,...,x_π(m)) für ein π ∈ Per(m) existiert, sodass M∩N(x₀)=O(graph g∩U(x₀))

wir haben diese definition und damit komme ich auch nicht klar :(

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Das ist die Darstellung als Graph einer Funktion.
Als erstes kannst du die mal für m=2 und n=1 (wobei dir übrigens ein Tippfehler unterlaufen ist) aufschreiben, dann sieht sie schon etwas einfacher aus.
Dann kannst du schonmal versuchen, die obere und die untere Hälfte der Ellipse als Graphen darzustellen. Dafür ist noch keine Permutation der Koordinaten notwendig und du hast die Bedingung der Definition für alle x₀ in diesen beiden Hälften erfüllt.

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stimmt das sollte n-dimensional sein :)

dann habe ich ja U⊆R²   und V ⊆ R¹

und g : V->R¹

richtig?

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Ja, jetzt suchst du also eine Funktion g: V→ℝ² für eine geeignete offene Menge V⊂ℝ, deren Graph gerade die obere (untere) Hälfte der Ellipse ist.

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ist das vielleicht eine parabel

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Nein, eine Ellipse ist keine Parabel.

Du möchtest die obere Hälfte der Ellipse nun durch (x,g(x)) parametrisieren, d.h. du möchtest die zweite Komponente in Abhängigkeit von der ersten darstellen.

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ICch verstehs nichhtttttt :'(

wirklich nicht ich habe echt keine ahnung :'(

also ich habe jetzt ja meine ellipse gegeben (x,y) | (x/a)² + (y/b)² =1

heißt das jetzt  für mich (x, (x/a)²) und (y,(y/b)²)

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Nein, so geht das nicht.

Eigentlich sind die Punkte auf der Ellipse von der Form (x,y).
Du möchtest sie aber in die Form (x,g(x)) bringen. Dazu kannst du y mithilfe von (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 in Abhängigkeit von x ausdrücken. Zumindest lokal (unter der Annahme, dass y>0).

Stell diese Gleichung also nach y um und du erhältst eine Funktion in x.

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so also ich habe die beiden Gleichungen mal ausgerechnet ich hoffe das stimmt so :

x= a(1-(y/b))         und   y= b(1-(x/a))

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Nein, du kannst Wurzeln nicht summandenweise anwenden!

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nein ich habe einfach mit  ²  erweitert das geht doch das kann ich doch machen

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Bitte was?

Die Wurzel aus 1- (x/a)^2 ist NICHt 1-(x/a).
Was du da mit "erweitern" meinst, ist mir unklar.

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also

1= (x/a)² +(y/b)²        |*²

1=(x/a) + (y/b)

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Das ist leider Unsinn. Was für ein Rechenschritt soll das denn sein?

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ich dachte ich kann das so machen

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Nein, wie gesagt kannst du die Wurzel nicht auf beide Summanden einzeln anwenden.

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du das hat grade so kein wert für mich.

ich weiß du wolltest mir ja auch helfen aber ich habe die frage auch gestellt weil ich nachdem ich auch im internet recherchiert habe nicht weitergekommen bin.

ich kann auch grade nicht deine fragen beantworten es iritiert mich einfach. ich habe die frage gestellt, damit mir vielleicht jemand mit lösungsweg oder ansätzen wenigstens so eine art nachhilfe geben könnte. denn wenn ich die aufgabe verstanden hätte, würde ich auch nicht hier nach hilfe suchen.

danke für deine mühe trotzdem ich versuche da jetzt mal selber durchzukommen.

Gruß Lily

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Wie gesagt wurde, kann die Wurzel nicht auf beide Summanden gezogen werden.

Zahlenbeispiel: √16 = √(9+7) ≠ √9 + √7

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hallo Matheretterv

also ich denke das ist schon wichtig aber auch wenn ich das jetzt auch weiß bringt mich das in meiner aufgabe nicht wirklich weiter ich weiß einfach nicht wie ich die aufgabe lösen soll das ist mein problem.

Gruß