Massenträgheitsmoment und totales Differential?

Question

Hallo, ich wollte mal fragen wie ihr diese Aufgabe hier lösen würdet:

Das Massenträgheitsmoment einer Zylinderwalze mit Radius R und Masse m ist durch die Formel J =\( \frac{1}{2} \) mR² gegeben. Bestimmen Sie zuerst das totale Differential. Wir betrachten nun eine Walze, die 100 kg wiegt und einen Radius von 0,2 m hat. Wie verändert sich das Massenträgheitsmoment, wenn wir die Masse der Walze um 2 kg verkleinern und den Radius um 2 % vergrößern? Geben Sie hierfür eine Abschätzung über das totale Differential an und bestimmen Sie auch die exakte Veränderung.

Danke schon mal für eure Hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

Die Formel für das Massenträgheitsmoment hängt von \(m\) und \(R\) ab:$$J(m,R)=\frac12mR^2$$Das totale Differential lautet daher:$$dJ=\frac{\partial J}{\partial m}\,dm+\frac{\partial J}{\partial R}\,dR=\frac12R^2\,dm+mR\,dR$$

Nun haben wir folgende Größen gegeben:$$m=100\,\mathrm{kg}\quad;\quad R=0,2\,\mathrm m\quad;\quad\Delta m=-2\,\mathrm{kg}\quad;\quad\Delta R=R\cdot\frac{2}{100}=0,004\,\mathrm m$$

Abschätzung der Veränderung über das totale Differential:$$\Delta J=\frac12R^2\,\Delta m+mR\,\Delta R=0,04\,\mathrm{kg}\,\mathrm m^2$$

Exakte Veränderung:$$\Delta J=\frac12(m+\Delta m)(R+\Delta R)^2-\frac12mR^2=0,039184\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m^2}$$