Aufgabe:
a) Bezeichne ◦: G×G → G die Komposition von Funktionen und G die Menge der bijektiven Abbildungen
f : M→M mit nicht-leerer Menge M. Zeigen Sie, dass (G, ◦) eine Gruppe ist. Zeigen Sie zusätzlich
an einem Beispiel, dass im Fall M= R die Gruppe nicht kommutativ ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge M := {z ∈ C: |z| = 1} zusammen mit der komplexen Multiplikation eine
kommutative Gruppe bildet.
Hinweis: Nutzen Sie, dass M⊂ C.
c) Sei f : R → C die Abbildung gegeben durch f(α) = cos(α) + i sin(α) f ¨ ur α ∈ R.
(i) Zeigen Sie, dass für α, β ∈ R gilt:
f(α + β) = f(α) · f(β) .
(ii) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist. Bestimmen Sie Mengen R ⊂ R, C ⊂ C,
sodass f : R → C bijektiv ist.
Problem/Ansatz:
Leider fehlt mir ein Ansatz zu dieser Aufgabe. Bereits ein grober "Fahrplan" würde mir sehr helfen!
