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Wie soll ich bei folgender Aufgabe vorgehen?

Zeigen Sie, dass die Gruppe (Bij(M), ◦) nicht kommutativ ist, sofern M mindestens drei paarweise verschiedene Elemente enthält.
Gefragt von
Ich glaub nicht, dass ich das noch kann.

Was ist denn Bij? Die Menge aller Bijektionen? Und die Operation die Abbildungsverknüpfung?

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Wenn das die Menge aller Bijektionen auf der Menge M ist, genügt es zu zeigen, dass da immer 2 Funktionen vorhanden sind, für die das Kommutativgesetz nicht gilt.

Ich nenne nun die 3 paarweise verschiedenen Elemente von M : a,b und c

Nun gibt es (da nach Annahme alle Bijektionen existieren) die beiden Bijektionen f und g, die folgende Zuordnungen machen

f:     a     |------------> b, b |--->c, c |-------> a                            , restl. Elemente bleiben fix.

g:   a |----------> a, b|---------> c, c |---------> b                        ,restl. Elemente bleiben fix.

 

Nun muss ich zeigen, dass es mindestens ein x gibt für das f (g(x)) ≠ g(f(x))

Versuch: f(g(a)) = f(a) = b

g(f(a)) = g(b) = c

Da nach Voraussetzung b≠c , ist f og  ≠ g o f. wzbw.

Nachtrag: Ich hab beim Basteln von f und g daran gedacht, dass geometrisch Drehungen und Spiegelungen nicht nicht kommutative Abbildungen sind und mir a, b und c als Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks vorgestellt. Die übrigen Elemente von M könnte man theoretisch auch noch irgendwo in die Ebene zeichnen und einfach mitspiegeln/drehen. Einfacher ist wohl man lässt sie einfach fix. 

Voraussetzen muss man schon, dass in Bij alle Bijektionen auf M vorhanden sind.

 

 

Beantwortet von 141 k
vielen danke für die antwort !

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