Zeigen Sie: Ist g \circ f surjektiv und g injektiv, dann ist f surjektiv.

Question

Aufgabe:

Es seien \( A, B \) und \( C \) beliebige nichtleere Mengen und \( f: A \rightarrow B \) und \( g: B \rightarrow C \) Funktionen. Zeigen Sie: Ist \( g \circ f \) surjektiv und \( g \) injektiv, dann ist \( f \) surjektiv.

Answer 1

Sei y∈B .  z.zg.:  ∃x∈A mit f(x)=y .

Da g:B→C, folgt g(y)=z ∈ C

Da gof surjektiv ist, gibt es x∈A mit (gof)(x)=z

also g(f(x)) = z . Da g injektiv ist folgt aus

g(f(x)) = z    und g(y)= z

          f(x)=y

Also gibt es ein x∈A mit f(x)=y .