Finden Sie alle Lösungen der Gleichung z3 + 27 = 0 in C.

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung $z^{3}$ + 27 = 0 in C.

bitte eine kurze Erklärung :)

Answer 1

Hallo,

z³=-27 hat drei Lösungen.

In Polarform:

$(r\cdot e^{i\varphi})^3=27 \cdot e^{i\pi}$

$r^3\cdot e^{i\cdot3\varphi}=27 \cdot e^{i\pi}$

$r^3=27\Rightarrow r=3$

$3\varphi_n=\pi +n\cdot 2\pi~~~;~~~n\in\Z$

Also:

$\varphi_0=\pi/3$

$\varphi_1=(2\pi+\pi)/3=\pi$

$\varphi_2=(4\pi+\pi)/3=5\pi/3$

:-)

PS:

$\varphi_4=\varphi_0$ usw.