Mehrere Lösungen komplexe Zahlen

Question

Aufgabe:

Geben sie alle Lösungen der Gleichung: \( z^{4} \)=-16

Problem/Ansatz:

Im Forum hier habe ich für die Lösung eine Formel Gefunden: z_k = ⁿ√r · [ cos( φw / n + k/n · 2π ) + i · sin(  φw / n + k/n · 2π ) ]

https://www.mathelounge.de/370331/wurzeln-bestimmen-sie-alle-komplexen-losungen-der-gleichung

Für die ersten zwei Lösungen erhalte ich das Ergebnis:Z₀=2e^i1/4π und Z₁=2eî3/4π .

Für die dritte Lösung erhalte ich Z₂=2e^i-3/4 π in der Lösung steht aber 2e^i5/4π . was mache ich falsch, ich setzte doch nur eine 2 für k in die Formel ein?

Answer 1

Hallo

sieh dir mal in der komplexen Ebene die Winkel 5/4pi und -3/4pi an,  (dann  denk immer daran 2pi+a =-a)

üblich sind 2 Wege um den Winkel anzugeben, 1. immer positiv zwischen 0 und 2pi

2. alle Winkel >pi als negative winkel also immer -pi<=a<=pi

Gruß lul

Answer 2

\( z^{4} \)=-16=16*i^2 |\( \sqrt{} \)

1.)z²=4i |\( \sqrt{} \)

z₁=2*\( \sqrt{i} \)       \( \sqrt{i} \)=\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*(1+i)

z₂=-2*\( \sqrt{i} \)

2.)z²=-4i =4*i^2*i

z₃=2i*\( \sqrt{i} \)

z₄=-2i*\( \sqrt{i} \)