Funktionen scharen, Kurvenanpassung

Question

Aufgabe:

siehe Foto

Problem/Ansatz

Hallo, kann mir jemand bei meinen Hausaufgaben helfen? Nummer 7 und 8.

Ich komme nicht mehr weiter.

Vielen Dank im Voraus!

Text erkannt:

7. Die Abbildung lasst vermuten, dass alle Graphen der Funktionen \( f_{2} \) mit \( f_{2}(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x \) an der Stelle \( x=1 \) einen Tiefpunkt haben.
a) Uberprufen Sie, ob diese Behauptung stimmt.
b) Zeigen Sie, dass sich je zwei Graphen in den Punkten \( (0 \mid 0) \) und \( \left(2 \mid \frac{2}{3}\right) \) schneiden.
8. Zeigen Sie, dass die Tiefpunkte der Funktion \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=\frac{x^{3}}{2 a^{3}}-3 \frac{x^{2}}{2 a^{2}} \) alle die \( y \)-Koordinate \( -2 \) haben.

Answer 1

f_a'(x) = x^2 + (2a-1)*x -2a

Das gleich 0 gibt x=-2a oder x=1

f_a' '(x) =2x+2a-1 ==>   f_a' '(1) = 1+2a

Für a>-1/2 ist das positiv, also ist dann dort ein Tiefpunkt.

Für a<-1/2 allerdings nicht.

b)  \( f_{a}(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x \)

und \( f_{b}(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 b-1}{2} x^{2}-2 b x \)

gleichsetzen gibt

\( \frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x =\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 b-1}{2} x^{2}-2 b x \)

<=> \( \frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x = \frac{2 b-1}{2} x^{2}-2 b x \)

<=> \( (a-b) * x^{2}  + 2(a-b)x = 0   \)

Wenn die Funktionen verschieden sind ist a-b nicht 0, also

folgt  x^2 + 2x = 0    also x* ( x-2) = 0

<=>   x=0 oder x=2. Die Schnittpunkte haben die

x-Koordinaten 0 und 2.

8.  \( f_{a}(x)=\frac{x^{3}}{2 a^{3}}-3 \frac{x^{2}}{2 a^{2}} \)

==>   \( f_{a}'(x)=\frac{3x^{2}}{2 a^{3}}- \frac{3x}{a^{2}} \)

Gleich 0 gesetzt gibt   \( 0=\frac{3x^{2}}{2 a^{3}}- \frac{3x}{a^{2}} \) | *2a³

<=>  3x^2 - 6ax = 0   <=>   x*( 3x -6a) = 0

        x=0 oder x=2a

\( f_{a}''(x)=\frac{3x}{ a^{3}}- \frac{3}{a^{2}} \)

ergibt   \( f_{a}''(0)=- \frac{3}{a^{2}} \lt 0\) also bei 0 ein HP.

\( f_{a}''(2a)= \frac{3}{a^{2}} \gt 0\) also bei x=2a ein TP.

Der einzige Tiefpunkt ( und damit alle) hat die y-Koordinate

f_a(2a) = -2. Beh. stimmt also.