Zeigen Sie, dass dann gilt [∀n∈N0 :F(n)≥n2 +1]

Question

Aufgabe:Gegeben sei eine Funktion F : N0 → R mit den Eigenschaften F(0) = 1 und [∀n ∈ N0 : F (n + 1) = 2 · (n + 1) · F (n)].

Zeigen Sie, dass dann gilt
[∀n∈N0 :F(n)≥n2 +1]

Comments

Hast du es mal mit einem Induktionsbeweis versucht?

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die Rekursionsgleichung:$$F(n+1)=2\cdot(n+1)\cdot F(n)\quad;\quad F(0)=1\;;\;n\in\mathbb N_0$$und wir sollen zeigen, dass$$F(n)\ge n^2+1\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$Dazu nutzen wir das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Verankerung bei $n=0$:$$F(n)=F(0)=1=0^2+1=n^2+1\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$

Wir haben die Behauptung bis zu einem bestimmten $n$ bereits bewiesen und zeigen nun, dass sie dann auch für $(n+1)$ gilt:

$$F(n+1)=2(n+1)\cdot \underbrace{F(n)}_{\ge n^2+1}\stackrel{\text{(Ind.Ann.)}}{\ge}2(n+1)\cdot(n^2+1)=2n^3+2n^2+2n+2$$$$\phantom{F(n+1)}=(2n^3+\,\underbrace{n^2)+(n^2}_{=2n^2}\,+2n+2)\ge n^2+2n+2=(n^2+2n+1)+1$$$$\phantom{F(n+1)}=(n+1)^2+1\quad\checkmark$$

Nach der Verankerung gilt die Behauptung für $n=0$, nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für $n=1$, nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für $n=2$, nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für $n=3$... Die Behauptung gilt also für alle $n\in\mathbb N_0$.

Answer 2

Ganz einfach mit Induktion nachzuweisen.