Ellipsoid als Untermannigfaltigkeit

Question

Hey ,

ich habe ein Ellipsoid E := { (x,y,z) ∈ ℝ³ | x²+3y²+5z²=8/15 }  gegeben und soll zeigen, dass dies eine UMF des ℝ³ ist.

Sei f(x,y,z) =x²+3y²+5z²-8/15

Mein Ansatz : Es gilt f^-1 ( {8/15})  und behaupten, dass 8/15 ein regulärer Wert von f ist. also die Df(x,y,z)= (2x  6y  10z)

und wenn ich diese gleich null setze bekommen ich x=y=z=0 raus, was aber nicht stimmen kann da wenn ich 0 einsetze  in f dann 0=8/15 was aber nicht stimmt also muss mindestens eine variable ≠0 sein und somit gilt dann dass df subjektiv ist und damit nach dem Satz vom regulären wert eine UNF , stimmt es denn wie ich das gemacht habe ?

und bei b) muss ich das Maximum und Minimum von der einschränkten Funktion f: ℝ³→ℝ , f(x,y,z)=x²+y+z auf E bestimmen.

Aber hier komme ich leider nicht ganz voran, ich bilde die Ableitung (2x  1  1) , wenn ich diese gleich null setze kann es ja nicht sein, dass 1=0 oder wo habe ich den Fehler gemacht ?

Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar

Gruß

Comments

Kann mir einer bitte bei der Aufgabe b helfen ?

Da komme ich nicht voran mir scheint das nicht logisch zu sein, wenn ich (2x 1 1 )= (0  0. 0) setze dann stimmt die Aussage ja nicht wie kann ich dann ein Maximum und ein Minimum finde

Answer 1

Diese Fläche ist topologisch zur (zweidimensionalen) Sphäre im ℝ³ äquivalent und also bestimmt auch eine Mannigfaltigkeit.

Du hast aber nicht mitgeteilt, auf welche Voraussetzungen man den Nachweis aufbauen darf.

Comments

Meinst Du jetzt bzg meiner Rechnung oder generell die Voraussetzungen in der Aufgabenstellung ?

Gruß