Gegeben sei ein komplexes Polynom P(z) mit reellen Koeffizienten. Leiten Sie die Darstellung her.

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen und ich weiß nicht wie ich sie lösen kann. Ich wäre sehr dankbar, wenn sie mir jemand erklären könnte.

Gegeben sei ein komplexes Polynom P(z) = a_Nz^N+a_N-1z^N-1 +...+a₀ mit reellen Koeffizienten. Besitze
P die reellen Nullstellen x₁, . . . , x_k und die echt-komplexen Nullstellen z₁,¬z₁,...,z_l,¬z_l  mit N = k+ 2l. Leiten
Sie die Darstellungen

P(z) = a_N \( \prod_{n=1}^{k} \)   (z-x_n) \( \prod_{n=1}^{l} \)  (z² − 2zb_n + c_n)

mit b_n = Re(z_n) und c_n = ∣ z_n ∣² her.

Danke schonmal im voraus

Comments

Da das Polynom über einem Körper lebt und die immer Nullteilerfrei sind, hat das Polynom höchstens deg P = N Nullstellen. Da N Nullstellen gegeben sind (k+2l=N) zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren

$$ p=(z-x_1)\dotsm(z-x_k) \cdot (z-z_1)(z-\bar z_1) \dotsm (z-z_l)(z-\bar z_l) $$

Jetzt eben die Linearfaktoren zu den komplexwertigen Nullstellenpaaren zusammenfassen:

\( (z-z_i)(z-\bar z_i) = z^2 - (z_i + \bar z_i) z + z_i \bar z_i = z^2 - 2\textrm{Re}(z_i)z + |z_i|^2 \)