Vollständige Induktion zeigen

Question

Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt: \( \sum \limits_{i=1}^{n}(3 i-2)=\frac{n(3 n-1)}{2} \)

Was habe ich hier falsch gemacht?

IA:

\( \sum \limits_{i=1}^{1}(3*1-2)=\frac{n(3* 1-1)}{2} \) = 1

IS:

Wenn \( \sum \limits_{i=1}^{k}(3 i-2)=\frac{k(3 k-1)}{2} \) , dann \( \sum \limits_{i=1}^{k+1}(3 i-2)=\frac{(k+1)*3k}{2} \)

Beweis:

\( \sum \limits_{i=1}^{k+1}(3 i-2) \) = \( \sum \limits_{i=1}^{k}(3 i-2) + (k+1) = \frac{k(3k-1)}{2} \) + (k+1)

= \( \frac{3k^2-k}{2} \) + \( \frac{2(k+1)}{2} \) =  \( \frac{3k^2-k+2k+2}{2} \)

=  \( \frac{3k^2+k+2}{2} \) =  \( \frac{(k+1) 3k}{2} \)

Answer 1

Fehler steckt hier:

Wenn \( \sum \limits_{i=1}^{k}(3 i-2)=\frac{k(3 k-1)}{2} \) , dann \( \sum \limits_{i=1}^{k+1}(3 i-2)=\frac{(k+1)*3k}{2} \)

Das muss heißen

Wenn \( \sum \limits_{i=1}^{k}(3 i-2)=\frac{k(3 k-1)}{2} \) , dann \( \sum \limits_{i=1}^{k+1}(3 i-2)=\frac{(k+1)*(3(k+1)-1)}{2} = \frac{(k+1)*(3k+2)}{2} \)

und dann:

Beweis: \( \sum \limits_{i=1}^{k+1}(3 i-2) \) = \( \sum \limits_{i=1}^{k}(3 i-2) + 3(k+1)-2 = \frac{k(3k-1)}{2}  + 3k+1\)

Dann passt es !

Comments

Vielen Dank mathef

Answer 2

Der Induktionsschluss sollte lauten:

        \( \sum \limits_{i=1}^{k}(3 i-2)=\frac{k(3 k-1)}{2} \implies \sum \limits_{i=1}^{k+1}(3 i-2)=\frac{(k+1)*(3(k+1)-1)}{2} \)

\( \sum \limits_{i=1}^{1}(3*1-2)=\frac{n(3* 1-1)}{2} \) = 1

Das sieht etwas seltsam aus. Die 1 ist als Endergebnis uninteressant.

Für \(n = 1\) gilt:

        \(\begin{aligned} &\sum \limits_{i=1}^{n}(3\cdot i - 2)\\ =\ & \sum \limits_{i=1}^{1}(3\cdot i - 2)\\ =\ & 3\cdot 1 - 2\\ =\ & 1 \\ =\ & \frac{1\cdot (3\cdot 1 - 1)}{2}\\ =\ & \frac{n(3 n-1)}{2}\end{aligned}\)

Comments

Ja, das geht vielleicht auch etwas freundlicher danke

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Bitte entschuldige. Ich wusste nicht dass du so überempfindlich bist. Ich habe meine Antwort etwas anders formuliert und hoffe nun, damit deine Gefühle nicht mehr zu verletzen.

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Sorry, habe meine Tage