Zeigen Sie, dass f ein Homomorphismus ist, genau dann…

Question

Aufgabe:

Seien V = V_{1} ⊕ V_{2} und W = W_{1} ⊕ W_{2} Vektorräume über K und sei f :V → W eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f ein Homomorphismus ist, genau dann, wenn es Homomorphismen f_{ij} :V_{i} → W_{j} für i, j = 1, 2 gibt mit

f(v_{1} + v_{2}) = (f_{11}(v_{1}) + f_{21}(v_{2})) + (f_{12}(v_{1}) + f_{22}(v_{2})) für v_{1} ∈V_{1} und v_{2} ∈V_{2}.

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, wann eine Abbildung Homomorphismus ist aber diese Unterräume machen Mühe! Wie kann ich am besten zeigen, dass f linear ist genau dann wenn das obige gilt ? Danke im Voraus!

Answer 1

Mal erst eine Richtung: Also es gibt 4 Homomorphismen:

f₁₁:V₁→W₁ und f₁₂:V₁→W₂ und ... .

Sei also nun v∈V und f : V → W eine Abbildung, die die

Bedingung f(v1 + v2) = (f11(v1) + f21(v2)) + (f12(v1) + f22(v2))

für alle v1 ∈V1 und v2 ∈V2 erfüllt.

Wegen V = V1 ⊕ V2 gibt es genau ein Paar (v1,v2)

mit  v1 ∈V1 und v2 ∈V2   und v = v1+v2.

Es ist f(v1) =f(v1+0) = (f11(v1) + f21(0)) + (f12(v1) + f22(0))

und weil Homomorphismen immer 0 auf 0 abbilden

= f11(v1) + f12(v1) . Analog f(v2)= f21(v2) + f22(v2) .

Damit ist f(v) = f(v1+v2)= (f11(v1) + f21(v2)) + (f12(v1) + f22(v2))

=  f11(v1) + f12(v1) +  f21(v2) + f22(v2) = f(v1) + f(v2).

Entsprechendes hat man für jedes u∈V mit u=u1+u2

Kann man damit wohl f(v+u) = f(v) + f(u) zeigen.