Untersuchen Sie die Menge auf Offenheit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Menge auf Offenheit

Problem/Ansatz:

Hallo ich soll untersuchen ob die Menge A = {(x,y) in R^2 | √|x| + 1 > y} offen ist.

Ich weiss das die Definition von Offenheit ist, das für jedes Element x aus A, ein ε > 0 exisitiert, sodass die offene Kugel B von x bzgl ε Teilmenge von A ist.

Leider weiss ich nicht wie ich dieses epsilon wählen müsste. Wäre sehr verbunden, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.

Comments

Kennst du den Satz, dass für eine stetige Funktion \(f\)

\(f^{-1}(M)\) für jede offene Mange \(M\) offen ist?

"eine Abbildung ist stetig genau dann, wenn Urbildmengen

offener Mengen offen sind"

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Den kenne ich, nur wüsste ich nicht wie man den hier anwenden kann, zumal ich nicht wüsste wie f^-1(A) aussieht

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Siehe meine Antwort!

Answer 1

\(f(x,y)=\sqrt{|x|+1}-y\) ist eine stetige Funktion

und wir haben \(A=f^{-1}((0,\infty))\). Da \((0,\infty)\) offen ist,

ist \(A\) offen.

Comments

Wärst du so nett und könntest mir noch erklären wie die (0, ∞) zustande kommt ?

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Ja, das sind alle reellen Zahlen \(> 0\),

entsprechend \(\sqrt{|x|+1}-y>0\)

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Ah okay verstehe. Danke für deine Zeit und einleuchtende Erklärung :)