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Sei M = N × N. Wir definieren die folgende Relation
S := {((a, b), (c, d)) ∈ M × M : [a ≤ c] ∧ [b ≤ d]}.
Zeigen Sie, dass S eine Halbordnung auf M definiert. Überlegen Sie sich, ob S sogar eine Ordnung auf M liefert.

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Welche Eigenschaften muss denn eine Relation erfüllen, um Halbordnung zu sein?

@ Mathhilf

Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität.


Aber wie wendet man das auf die gegebene Fragestellung an? Wäre das so richtig:


1.)  a ≤ a ∀a∈ℕ --> also Reflexivität

2.)  a ≤ c und c ≤ a ⇒ a = c

    b ≤ d und d ≤ b ⇒ b = d → also Antisymmetrie

3.) a ≤ b und b ≤ c ⇒ a ≤ c

   b ≤ c und c ≤ d ⇒ b ≤ d --> also Transitivität


Beispiel: a = 1 daraus folgt: b = 1, c = 1, d = 1

S:={((1,1),(1,1)∈MxM:[1≤1]∧[1≤1]

S⊂MxM


? Habe das Gefühl das ist nicht ganz korrekt so, oder?

1 Antwort

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Hallo,

Du hast die richtigen Gedanken. Ich würde mit der Formulierung noch genauer auf die Formalitäten der Aufgabenstellung eingehen. Also etwa:

Reflexivität: Für alle (a,b)M(a,b) \in M gilt: aaa \leq a und bbb \leq b also ((a,b),(a,b))S((a,b),(a,b)) \in S

Antisymmetrie: Wenn ((a,b),(c,d))S((a,b),(c,d)) \in S und ((c,d),(a,b))S((c,d),(a,b)) \in S; dann folgt:

ac und caa=ca \leq c \text{ und } c \leq a \Rightarrow a=c

bd und dbb=db \leq d \text{ und } d \leq b \Rightarrow b=d

Also folgt: (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d).

...

Für die letzte Frage: Es gilt ((1,2),(2,1))S((1,2),(2,1)) \notin S und ((2,1),(1,2))S((2,1),(1,2))\notin S

Gruß Mathhilf

Avatar von 14 k

Vielen Dank für deine Hilfe! :)


Gruß hermionejeang

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