Konvergenz/Lim einer Folge

Question

Eine Frage wegen der Konvergenz

lim ( n-te√2ⁿ*n! / n-te √nⁿ) konvergiert für n zu unendlich 2/e.

Stimmt das?

Answer 1

Hallo :-)

Ja, das stimmt. Es gilt nämlich:

$$ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^n\cdot n!}}{\sqrt[n]{n^n}}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2\cdot \sqrt[n]{n!}}{\sqrt[n]{n^n}}=2\cdot \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=2\cdot \frac{1}{e}=\frac{2}{e} $$

unter der Voraussetzung, dass du \(\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac{1}{e}\) kennst?

Comments

Perfekt danke für ihre ausführliche Antwort. Die Voraussetzung kenne ich, jedoch hätte ich die Frage, ob sie noch notwendig wäre, in meinem Beweis zu erwähnen oder ist es nicht von nöten?

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Wenn du sie schon bewiesen hast, dann musst du den Beweis nicht nochmal hinschreiben, aber du musst in deiner Lösungsabgabe sagen, woher du das Ergebnis kennst. In dem Falle wohl aus deiner Veranstaltung.

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Ok danke für ihre Antwort.

Sie haben mir sehr geholfen.