Ich denke mal, dass die -1 nicht zum Exponenten gehört, also so
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{z^k} = \frac{z^p}{z^{p}-1}\sum \limits_{k=1}^{p}\frac{a_k}{z^k}$$
Dann passt es doch mit der geometrischen Reihe.
Und es wird vielleicht verständlicher, wenn du erst mal mit p=3
konkretisierst. Dann sieht es so aus
$$ \frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\frac{a_3}{z^3}+\frac{a_4}{z^4}+\frac{a_5}{z^5}+\frac{a_6}{z^6}+\frac{a_7}{z^7}+\frac{a_8}{z^8}+\frac{a_9}{z^9}+\frac{a_{10}}{z^{10}}+..... $$und dann immer 3 zusammen betrachten und \( \frac{1}{z^{3n}}\)ausklammern gibt $$ (\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\frac{a_3}{z^3})+\frac{1}{z^3}(\frac{a_4}{z}+\frac{a_5}{z^2}+\frac{a_6}{z^3})+\frac{1}{z^6}(\frac{a_7}{z}+\frac{a_8}{z^2}+\frac{a_9}{z^3})+\frac{1}{z^9}(\frac{a_{10}}{z}+...)..$$
Dann steht in den Klammern das, was im allg. Fall die 2. Summe ist, und wenn du die wiederum ausklammerst, bleibt nur noch
$$1+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^6}+\frac{1}{z^9}+....$$
und das gibt nach der Formel für die geom. Reihe
$$ \frac{z^p}{z^{p}-1} $$
