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Frage:

Es sei \(\varphi\in L(V)\) ein Endomorphismus im \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\). Außerdem seien \(c1, c2\in \mathbb{K}\) zwei Eigenwerte von \(\varphi\) mit \(c_1\neq c_2\). Zeigen Sie, dass die Eigenräume

$$ \text{Eig}_{c_1}\varphi:=\text{Ker}(\varphi-c_1\cdot id_V),\quad \text{Eig}_{c_2}\varphi:=\text{Ker}(\varphi-c_2\cdot id_V) $$

linear undabhängig sind.

Problem:

Kann mir jemand bitte bitte bitte helfen? Ich brauche diese Aufgabe unbedingt.

Ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann. :( :(

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Beste Antwort

Hallo :-)

Probiere doch mal einen Widerspruchsweis: Nimm also einen Eigenvektor \(v_1\in V\) zum Eigenwert \(c_1\in \mathbb{K}\) und einen Eigenvektor \(v_2\in V\) zum Eigenwert \(c_2\in \mathbb{K}\). Nehme an, dass \(v_1\) und \(v_2\) linear abhängig sind. Was kannst du daraus folgern?

Avatar von 14 k

Aaaaahhhhhhhh??????!!!!

Kannst du bitte bitte genauer helfen?

Ich weiß es nicht :( :( :(

Linear abhängig heißt hier \(v_1=\lambda\cdot v_2\) für ein \(\lambda\in \mathbb{K}\).

Ich muss diese Aufgabe in einer Stunde abgeben und ich komme damit nicht weiter :(

Kannst du mir nicht die Lösung schreiben? :''D

Ich werde sehr sehr sehr DANKBAR!

Ich bitte dich um deine Hilfe

Vielen bielen Dank

Sorry. Habe es jetzt erst gesehen. Ich präsentiere mal meinen Weg.

Sei \(v_1\in V\) Eigenvektor zum Eigenwert \(c_1\in \mathbb{K}\) und \(v_2\in V\) Eigenvektor zum Eigenwert \(c_2\in \mathbb{K}\), wobei \(c_1\neq c_2\) gilt. Angenommen, \(v_1\) und \(v_2\) sind linear abhängig. Dann gilt \(v_1=\lambda\cdot v_2\) für ein \(\lambda\in \mathbb{K}\).

Dann gilt weiter

$$ c_1\cdot v_1=\varphi(v_1)=\varphi(\lambda\cdot v_2)=\lambda\cdot \varphi(v_2)=\lambda\cdot c_2\cdot v_2=c_2\cdot (\lambda\cdot v_2)=c_2\cdot v_1 $$

und damit \((c_1-c_2)\cdot v_1=0\in V\). Da \(v_1\neq 0\in V\), folgt \(c_1-c_2=0\in \mathbb{K}\), also \(c_1=c_2\). Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(c_1\neq c_2\) gilt.

Woow dankeschön. Das war sehr hilfreich :)

Könnt ihr mich bite bitte auch bei dirser Frage helfen? Ich kann mein Problem in dieser Frage nicht beheben. Das ist sehr wichtig für mich.

Frage:

Sei n ∈ N und seien a1, ..., an ∈ Z. Dann gibt es k, l ∈ N mit 0 ≤ k ≤ l ≤ n, so dass gilt:

n | ak+1 + ... +al


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