Zeigen Sie, dass f ein globales Maximum besitzt

Question

Sei f :ℝ → ℝ eine stetige, überall positive Funktion mit f(x) → 0 für |x| → ∞. Zeigen Sie, dass f ein
globales Maximum hat.

Meine Vermutung :

Um ein globales Maximum der Funktion zu finden, muss die Funktion beschränkt und abgeschlossen sein. Das heißt ich muss ein Intervall finden, wo die Funktion beschränkt und abgeschlossen ist. Also wäre das x∈[0,a]. Also dann wäre der Rand f(a), das globale Maximum für diese Betragsfunktion.

Würde mich auf eine Antwort freuen.

Danke im Voraus

Comments

\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) hat die geforderte Eigenschaft, passt aber

nicht zu deinen Überlegungen.

Answer 1

Sei \(a\in \mathbb{R}\). Dann ist \(f(a)>0\).

Da \(f(x)\rightarrow 0\) für \(|x|\rightarrow \infty\),

gibt es ein \(K>0\), so dass \(f(x)\lt \frac{f(a)}{2}\) für \(|x|>K\).

Da \(f\) stetig ist, nimmt es auf \([-K,K]\) ein Maximum \(M\) an.

Nun ist also \(f(x)\leq M\) für alle \(x\in [-K,K]\) und insbesondere \(f(a)\leq M\).

Für \(x\notin [-K,K]\) gilt \(f(x)\lt\frac{f(a)}{2}\lt f(a)\leq M\).

Damit ist \(M\) ein globales Maximum.

Comments

Warum soll die letzte Ungleichung gelten? f(x)<f(a)/2 nur falls |x|>K nach zweiter Zeile. Also wenn x nicht aus [-K,K] ist, gilt das nicht oder? Zudem kann man ein Gegenbeispiel finden. Z.B f(x)=1/e^x. f: R->R, stetig, f(x)>0, für |x|->oo f(x)->0.

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Bei deinem Beispiel ist $$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}\neq 0$$.

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Ach so, |x|->oo bedeutet, dass x sowohl gegen unendlich geht, als auch gegen minus unendlich, habe ich dass richtig verstanden?. Danke für Ihre Antwort, wäre dankbar, wenn Sie noch erklären würden, warum die letzte Ungleichung gilt. Da nach zweiter Zeile ist, gilt die wenn |x|>K, was ein Widerspruch zu vorletzter Zeile, oder?

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Ach so, ich habe alles verstanden. Ich bin so dumm. Danke!!

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Prima! Manchmal hakt es halt im Gehirn ;-)

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was ist K hier? eine teilmenge von ℝ ? und warum gilt die gleichung f(x) < f(a)/2 ?

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\(K\) ist eine Schranke, oberhalb derer \(|f(x)|\)

kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wertes ist.

Mach dich schlau über die Bedeutung von \(\lim_{x\rightarrow \infty} ...\) und

\(\lim_{x\rightarrow -\infty} ...\)