Vektorräume und Degree

Question

Aufgabe:

Sei B ⊆ K[X]. Zeigen Sie:

a) Wenn es für jedes n ∈ N höchstens ein p ∈ B mit deg(p) = n gibt, dann ist B linear unabhängig.

b) Wenn es für jedes n ∈ N mindestens ein p ∈ B mit deg(p) = n gibt, dann ist B ein Erzeugendensystem von K[X].

c) Wenn B linear unabhängig ist, kann B trotzdem mehrere Elemente mit demselben Grad enthalten.

d) Wenn B ein Erzeugendensystem von K[X] ist, kann es trotzdem ein n ∈ N geben, so dass B kein
Polynom vom Grad n enthält.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das beginnen soll, erstens bin ich mir nicht mehr sicher was der Degree bei Vektorräumen war.

Bei a) und b) muss man ja die Reepräsantenunabhänigkeit zeigen.

c) ist ja fast trivial weil ein Raum ja mehrere Basen haben kann.
d) Hier habe ich garr keinen Ansatz.

Answer 1

d) Betrachte die Polynome mit Grad≤2, also sowas ax^2 +bx + c mit a≠0.

Ein Erzeugendensystem ist z.B. {x^2+x ; x^2-x ; 1}.

Damit kannst du ax^2 +bx + c in der Form

\( \frac{a+b}{2}  \cdot (x^2+x)  + \frac{a-b}{2}  \cdot (x^2-x)  + c \cdot 1\)

darstellen.  Also ist das ein Erzeugendensystem ohne ein Polynom

vom Grad 1, also es gibt ein n (nämlich 1) so dass B kein

Polynom vom Grad n enthält.

Wenn du jetzt noch alle x^3 , x^4 , ...   dazu packst, gilt das auch für K[x].

Comments

Danke, was sagst du zu meinen Ansätzen von a), b) und c)?

Und vielleicht kannst du mir auch noch einen Tipp geben wie ich konkret beginnen kann.

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Bei c kannst du auch das Beispiel von d nehmen.

Bei a und b würde ich mit so ein System einfach mal vorstellen

und etwa für a den klassischen Ansatz für die lin. Unabh. machen

$$\sum \limits_{p∈B} a_p \cdot p = 0-Polynom$$

Wenn es zu jedem n ∈ N höchstens ein p ∈ B mit deg(p) = n gibt,

Dann gilt für diese \( a_p \dot x^n = 0    \)  also a _p =0.