Vektorräume Verständnisfrage

Question

Ich hätte eine wichtige Frage zu den Vektorräumen.

Man spricht ja bei den Vektorräumen immer über die normale Addition und dann über die "geringelte Addition". Ich verstehe jetzt nicht genau den Unterschied bei dem. Dies genau bei der Multiplikation von * und dem geringelten (*).

Ich habe mich eingelesen, dass es irgendwas mit der Definition zu tun hat..

Kann mir jemand ein gutes Beispiel geben?

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Du hast in der Regel einen Vektorraum \(V\) über einem Körper \(K\) definiert. Die Koordinaten der Vektoren \(\vec v\in V\) sind Elemente aus \(K\). Die normale Addition \(+\) ist diejenige, die in dem Körper \(K\) definiert ist. Die "geringelte Addition" \(\oplus\) ist diejenige, die in dem Vektorraum \(V\) definiert ist:$$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\oplus\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\end{array}\right)$$Das \(\oplus\) wirkt zwischen 2 Vektoren, das \(+\) wirkt zwischen den Komponenten bzw. Elementen des Körpers. Später wird das nicht mehr unterschieden. Da eine Addition zwischen einer Zahl \(\in K\) und einem Vektor \(\in V\) nicht definiert ist, kommen sich die beiden "Additionen" nicht in die Quere und es ist klar, welche jeweils gemeint ist.