Aufgabe:
Hat jede C^∞(R)−Funktion f eine holomorphe Erweiterung?
Das ist nicht der Fall,
da eine \(C^{\infty}(\mathbb{R})\)-Funktion nicht notwendig reell-analytisch ist,
siehe hierzu z.B.
https://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Funktion
aber wenn ich ein f nehme mit
f(x) = ∑n=0∞ an(x-x₀) n → lim sup \( \sqrt[n]{an} \) = 0
R → ∞
f~(z) = ∑n=0∞ an(z-x₀) n , z ∈ ℂ
und dann kann ich sagen dass f~ (z) holomorph oder?
Ja. Das ist korrekt.
also die frage ist dann korrekt ?
Die am Anfang gestellte Frage ist mit Nein zu beantworten.Im Wikipedia-Artikel ist doch eine \(C^{\infty}\)-Funktion angegeben,die sich nicht global in eine Potenzreihe entwickeln lässt.
