Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? (:
Text erkannt:
Gegeben sei der folgende Endomorphismus:
\( F: \mathbb{Z}_{5}^{3 \times 1} \rightarrow \mathbb{Z}_{5}^{3 \times 1}, \quad\left(\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array}\right)^{T} \mapsto\left(3 x_{1}+2 x_{3} \quad x_{2}+x_{3} \quad 2 x_{1}+x_{2}\right)^{T} . \)
(a) Stellen Sie \( F \) als Standardinterpretation einer Matrix \( A \) dar und verifizieren Sie, dass \( M_{\mathcal{S}}^{\mathcal{S}}(F)=A \), wobei \( \mathcal{S} \) die Standardbasis von \( \mathbb{Z}_{5}^{3 \times 1} \) ist.
(b) Bestimmen Sie nur unter Verwendung von, ,Ablesen", Matrizenmultiplikation und Invertieren von Matrizen sowie mithilfe von Aufgabe \( 8.5 \) (a) die darstellenden Matrizen \( M_{\mathcal{S}}^{\mathcal{C}}\left(\mathrm{id}_{\mathrm{Q}}^{3 \times 1}\right), M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{S}}\left(\mathrm{id}_{\mathrm{Q}}^{3 \times 1}\right) \), \( M_{\mathcal{S}}^{\mathcal{B}}(F) \) und \( M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(F) \), wobei
\( \mathcal{B}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right) \text { und } \mathcal{C}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right) \text { Basen von } \mathbb{Z}_{5}^{3 \times 1} \text { sind. } \)
