Basis des Untervektorraums von Funktionen

Question

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Aufgabe $3.7$ Gegeben seien folgende Funktionen auf $\mathbb{R}$ :
$f(t)=\sin (t)^{2}, \quad g(t)=\cos (t)^{2} \quad \text { und } h(t)=1 .$
Geben Sie eine Basis des Untervektorraums vom $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}:=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f$ Abbildung $\}$ an, der durch $f, g$ und $h$ erzeugt wird.

Aufgabe:

Hallo alle. Kann jemand mir mit dieser Aufgabe helfen? Ich kenne dieses Thema ganz gut, aber ich verstehe nicht, was ich hier machen muss.

Lg, Niki

Answer 1

Hallo

die 3 sind linear abhängig,(f+g=h) also kannst du einfach 2 davon als Basis nehmen, denn je 2 sind nicht linear abhängig.

Gruß lul

Comments

Normalerweise zeigt man lineare Unabhängigkeit indem man homogenes LGS löst und zeigt, dass alle Koeffizient gleich null sind. Kann man das hier auch zeigen? Danke für Ihre Hilfe und Antwort!

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Hallo

du willst ja nicht Lin. Unabhängig. zeigen?

aber kann man da man direkt sieht dass die Summe von 2 en den dritten gibt ist das recht sinnlos, denn du hast ja direkt Koeffizienten ungleich 0

und dass a*sin²(x)+b=0 nur für a=b=0 lösbar ist, bzw sin² kein Vielfaches von 1 ist muss mal wohl nicht mal erwähnen.

lul

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danke :) Du hast sehr geholfren