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Aufgabe:

Aufgabe 22: (2+2+2 \quad(2+2+2 Punkte ) )

Sei G : =C\{iy : yR,y1} G:=\mathbb{C} \backslash\{\mathrm{i} y: y \in \mathbb{R},|y| \geq 1\} . Zeigen Sie:

(a) Es gibt genau eine auf G G holomorphe Funktion A A mit A(x)=arctan(x) A(x)=\arctan (x) für alle xR x \in \mathbb{R} . Diese nennt man auch Hauptzweig des Arcustangens.

(b) Für alle wC w \in \mathbb{C} mit Re(w)<π2 |\operatorname{Re}(w)|<\frac{\pi}{2} gilt A(tan(w))=w A(\tan (w))=w .

(c) Für alle zC z \in \mathbb{C} mit z<1 |z|<1 gilt

\(

A(z)=\sum \limitsn=0\infty \frac{(-1)n}{2 n+1} z2 n+1 (HIER STEHT DER ARCTAN als Potenzsumme)

\)


Problem/Ansatz:

Als Hinweis soll man den Tangens als exponentialfnkt darstellen, oder Mithilfe des Identitätssatzes und das Wissen der Arcustangensfunktion argumentieren

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