Aufgabe:
Aufgabe 22: (2+2+2 Punkte )
Sei G : =C\{iy : y∈R,∣y∣≥1}. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau eine auf G holomorphe Funktion A mit A(x)=arctan(x) für alle x∈R. Diese nennt man auch Hauptzweig des Arcustangens.
(b) Für alle w∈C mit ∣Re(w)∣<2π gilt A(tan(w))=w.
(c) Für alle z∈C mit ∣z∣<1 gilt
\(
A(z)=\sum \limitsn=0\infty \frac{(-1)n}{2 n+1} z2 n+1 (HIER STEHT DER ARCTAN als Potenzsumme)
\)
Problem/Ansatz:
Als Hinweis soll man den Tangens als exponentialfnkt darstellen, oder Mithilfe des Identitätssatzes und das Wissen der Arcustangensfunktion argumentieren